假定某个周期函数可以表示为 $\sin kt, \cos kt$ 的线性组合，那么该如何确定线性组合的系数？
我们希望最小正周期为 $1$ ，于是这里将 $\sin kt, \cos kt$ 均改写为 $\sin 2\pi kt, \cos 2 \pi kt$ 假设一个函数能表示成有限个形如 $a _ { k } \sin ( 2 \pi k t ) + b _ { k } \cos ( 2 \pi k t )$ 的和，即
$$ \begin{equation}f ( t ) = \sum _ { k = 1 } ^ { n } \left( a _ { k } \sin ( 2 \pi k t ) + b _ { k } \cos ( 2 \pi k t ) \right)\end{equation} $$
那么利用欧拉公式
$$ \begin{equation}\begin{array} { l } \sin x = \cfrac { e ^ { x i } - e ^ { - x i } } { 2 i } \\ \cos x = \cfrac { e ^ { x i } + e ^ { - x i } } { 2 } \end{array}\end{equation} $$
将其转化为复指数形式并整合系数得到：
$$ \begin{equation}f ( t ) = \sum _ { k = - n } ^ { n } c _ { k } e ^ { 2 \pi i k t }\end{equation} $$
这里的 $c_k (k \geq 0)$ 与 $a_k, b_k$ 的关系是：
$$ \begin{equation} \begin{aligned} c _ { k } & = \frac { a _ { k } } { 2 i } + \frac { b _ { k } } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } b _ { k } - \frac { 1 } { 2 } a _ { k } i \\ c _ { - k } & = \frac { - a _ { k } } { 2 i } + \frac { b _ { k } } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } b _ { k } + \frac { 1 } { 2 } a _ { k } i \end{aligned} \end{equation} $$
所以系数满足对称性：
$$ \begin{equation}\overline { c _ { k } } = c _ { - k }\end{equation} $$
特别地，如果在 $f(t)$ 的表达式的开头加上常数 $a_0$ ，那么有 $\overline { c _ { 0 } } = c _ { 0 }$ ，表明 ${ c _ { 0 } } = a _ { 0 }$ 为实数。
基于此可以得到
$$ \begin{equation}\overline { c _ { k } e ^ { 2 \pi i k t } } = c _ { - k } e ^ { - 2 \pi i k t }\end{equation} $$
这保证了求和所得结果是一个实数。
同时
$$ \begin{equation}e ^ { 2 \pi i k ( t + 1 ) } = e ^ { 2 \pi i k t }\end{equation} $$
又保证了求和结果以 $1$ 为周期。
为了求出和式中的各项系数，先将系数分离
$$ \begin{equation}c _ { m } = e ^ { - 2 \pi i m t } \left[ f ( t ) - \sum _ { \substack { k = n \\ k \neq m } } ^ { n } c _ { k } e ^ { 2 \pi i k t } \right]\end{equation} $$
再两边对 $t$ 求由 $0$ 到 $1$ 的积分得到：
$$ \begin{equation}\int _ { 0 } ^ { 1 } c _ { m } d t = c _ { m } = \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { - 2 \pi i m t } f ( t ) d t - \sum _ { \substack { k = n \\ k \neq m } } ^ { n } c _ { k } \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { 2 \pi i ( k - m ) t } d t\end{equation} $$
利用
$$ \begin{equation}\int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { 2 \pi i ( m - n ) t } d t = \delta _ { m n } = \left\{ \begin{array} { l l } 1 , & m = n \\ 0 , & m \neq n \end{array} \right.\end{equation} $$
得到
$$ \begin{equation}c _ { m } = \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { - 2 \pi i m t } f ( t ) d t\end{equation} $$
为了书写的简便，我们记（傅里叶系数）
$$ \begin{equation}\widehat { f } ( m ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { - 2 \pi i m t } f ( t ) d t\end{equation} $$
于是我们得到了
$$ \begin{equation}f ( t ) = \sum _ { k = - n } ^ { n } \widehat { f } ( k ) e ^ { 2 \pi i k t }\end{equation} $$
其中傅里叶系数 $\widehat { f } ( k )$ 从原则上是可求的。在一些情况下，用有限个 $\sin kt, \cos kt$ 表示周期函数是
原则上不可行的。
例如方波，因为有限个连续函数的和还是连续函数，不可能表示离散现象。
又比如三角波，因为有限个可导函数的和还是可导函数，图像不可能出现拐点。
事实上，**任何阶导数的不连续性，或者说函数的任何不平滑性，都会使得将导数表示为有限个正弦函数的和的做法不可行。**因为有限个正弦函数的和是无穷阶可导的，或者说可以平滑到任何程度。
因此，**为了表示一般的周期现象，我们必须考虑对周期信号进行无限项求和。**即无限和
$$ \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \widehat { f } ( k ) e ^ { 2 \pi i k t } $$
其中的傅里叶系数 $\widehat { f } ( k )$ 可能部分为零，不过任意非平滑(unsmooth)的信号都会产生无穷多个傅里叶系数。反过来说，如果信号只能产生有限项傅里叶系数，那么它本身是无穷平滑的。
这里将傅里叶系数 $\widehat { f } ( k )$ 看成是函数 $f(x)$ 的一种整数上的变换，于是我们采用 “产生” 一词刻画傅里叶系数的生成过程。
在利用无限项的和时，必须考虑以下问题：
普遍的级数收敛性问题经历了数学家和工程学家多年的艰苦努力才得到了解决，这需要分析角度的巨大变化。但是由于傅里叶级数已经变得如此普遍，这些方法都已经变得标准化，形成了明确的概念写入教科书中。
特殊情形下的一些成果如下：
如果 $f(x)$ 连续，那么傅里叶级数逐点收敛(pointwise convergence)，即对任意的 $t$ 都有
$$ f ( t ) = \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \widehat { f } ( k ) e ^ { 2 \pi i k t } $$
如果 $f(z)$ 可微，那么傅里叶级数一致收敛(uniform convergence)，即对任意的 $t$ 无穷级数
$$ \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \widehat { f } ( k ) e ^ { 2 \pi i k t } $$
的收敛速度一致。（这样就可以得到误差的平均估计值）
如果 $t_0$ 是函数 $f(x)$ 的跳跃点，那么有
$$ \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \widehat { f } ( k ) e ^ { 2 \pi i k t } = \frac { f \left( t _ { 0 } ^ { + } \right) + f \left( t _ { 0 } ^ { - } \right) } { 2 } $$
即傅里叶级数收敛于跳跃点处的平均值。(20 世纪前期才得到证明，远晚于傅里叶的时代）
经历了数个世纪的心酸苦楚之后，科学家意识到，不应当考虑级数各点的收敛性，而应当考虑均方收敛 (mean square convergence or convergence in enegy)，才可以得到令人满意的结果。
均方收敛
假设 $f(t)$ 是以 $1$ 为周期的函数，满足 $\int _ { 0 } ^ { 1 } | f ( t ) | ^ { 2 } d t < \infty$. 即它的平方由 $0$ 到 $1$ 的积分是有界的。（物理上称之为能量有界）（注意这里允许复数）
那么傅里叶系数 $\widehat { f } ( k ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { - 2 \pi i k t } f ( t ) d t$ 存在（注意这里没有假设连续性），并且
$$ N \rightarrow \infty , \int _ { 0 } ^ { 1 } \left| \sum _ { k = - N } ^ { N } \widehat { f } ( k ) e ^ { 2 \pi i k t } - f ( t ) \right| ^ { 2 } d t \rightarrow 0 $$
在均方收敛的意义下，就可以写：
$$ f ( t ) = \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \widehat { f } ( k ) e ^ { 2 \pi i k t } $$
这样的收敛结果在勒贝格积分意义下成立。