Vector Space 벡터공간

Definition

Vector Space about Field $F$ 체 $F$에서의 벡터공간

**vector ‘벡터’들로 이루어진 공집합이 아닌 집합. 집합에 속한 원소들에 대해 다음의 두 연산이 정의되어 있다.

  1. Vector Addition** ⇒ $V$의 두 원소 $x, y$에 대해 유일한 원소 $x + y \in V$를 대응하는 연산

2. Scalar Multiplication ⇒ 체 $F$ 의 원소 $a$ 와 벡터공간 $V$의 원소 $x$ 마다 유일한 원소 $ax \in V$를 대응 하는 연산

또한, 다음 8가지 성질을 만족한다. [$\forall x$ : 모든 $x$에 대하여, $\exist x$ : $x$ 가 존재한다, $s.t.$ : such that, 이하의 조건을 만족하는]

$(VS1)\quad\forall x,y\in V,\quad x +y = y+x$ (덧셈의 교환법칙)

$(VS2)\quad\forall x,y,z\in V,\quad (x+y)+z = x+(y+z)$ (덧셈의 결합법칙 성립)

$(VS3)\quad \forall x\in V,\quad\exist0\in V \quad s.t.\quad x+0 = x$ (덧셈에 대한 항등원 존재)

$(VS4)\quad \forall x\in V,\quad\exist y\in V \quad s.t.\quad x+y = 0$ (덧셈에 대한 역원 존재)

$(VS5)\quad \forall x\in V,\quad 1x = x$ (스칼라 곱에 대한 항등원 존재)

$(VS6)\quad \forall a,b\in F,\forall x \in V\quad (ab)x = a(bx)$

$(VS7)\quad \forall a\in F,\ \forall x,y \in V\quad a(x+y)=ax+ay$ ((스칼라의) 분배법칙 성립)

$(VS8)\quad \forall a,b \in F,\ x\in V\quad (a+b)x = ax+bx$ ((벡터의) 분배법칙 성립)

[주의할 점] VS3의 항등원은 모든 벡터 x 에 대해 항등원이 되는 0 벡터가 하나의 원소로서 벡터공간 내에 존재한다는 것이고 VS4의 역원은 각각의 벡터 x 마다 합하면 결과가 항등원 0벡터가 되는, 각각의 x에 대한 역원 y가 벡터공간 내에 존재한다는 뜻입니다.

이러한 벡터공간을 ‘$F$-벡터공간 $V$’이라 표기한다. 여기서 소개된 체 $F$의 원소를 스칼라 scalar 라고 하며, 벡터공간 자체는 벡터만으로 이루어져있기 때문에 2. Scalar Multiplication의 피연산자를 가져오기 위해, 벡터공간을 정의할 때 함께 정의해야 하는 집합이다.

<aside> 💡 체 (Field)란? : 집합, 벡터공간과 같은 대수구조, 덧셈과 곱셈이 잘 정의되어 있는 집합. 예시로는 실수 집합 $\mathbb R$, 유리수 집합 $\mathbb Q$등이 있음 $\mathbb C$

</aside>


Theorem

정리 1.1 Cancellation law 벡터 합의 소거법칙

$x, y, z \in V$이고 $x + z = y + z$일때, $x = y$이다.

proof

VS4 : [각 $x \in V$마다 $x + y = 0$인 $y \in V$가 존재한다.] 에 의해 $z + w = 0$을 만족하는 $w$가 존재하고 $w \in V$이다.

양변에 $w$를 더하면, $x + (z + w) = y + (z + w)$
벡터 합의 결합법칙 (associativity of vector addition)

⇒ $x + 0 = y + 0$ $w$ 는 덧셈에 대한 $z$의 역벡터 (additive inverse) ⇒ $x = y$ $0$ 은 덧셈에 대한 항등원 (additive identity)이며, 영벡터 (zero vector) 라고 함

Corollary

1.1 의 따름정리 1

VS3 : [모든 $x \in V$에 대하여 $x + 0 = x$ 인 $0 \in V$이 존재한다.] 를 만족하는

벡터 $0 \in V$는 유일하다.

proof

$x + 0 = x = x + 0'$ 인 벡터 $0, 0' \in V$를 생각하자.

바로 위의 **Thm 1.1 (소거 법칙)**에 의해 $x + 0 = x + 0'$ 이면 $0 = 0'$이다.

따라서 zero vector $0 \in V$ 은 유일하다.

1.1 의 따름정리 2

**VS4 : [**각 $x \in V$마다 $x + y = 0$인 $y \in V$가 존재한다.] 를 만족하는

벡터 $y \in V$는 유일하다.

proof

$x + y = 0 = x + y'$ 인 벡터 $y, y' \in V$를 생각하자.

역시 Thm 1.1 에 의해 $x + y = x + y'$ 이면 $y = y'$ 이다.

따라서 임의의 $v \in V$에 대한 additive inverse $-v\in V$ 은 유일하다. ****