집합족

집합족(Family)이란?

집합족
- 집합을 원소로 갖는 집합 (ex 멱집합)
- 집합족은 F로 표기
첨수족
- 첨수(번호)가 부여된 대상들로 이루어진 집합. 집합족의 표현을 간단하게 하기 위해 만든 개념.
- 첨수족은 I로 표기
ex) 집합 $A = \{ 1, 2 \}$ 에 대하여
- 멱집합은 $P(A) = \{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\} \}$ 가 되고, 이를 집합족 F라 정의
- 집합족 F에 속하는 각각의 집합에 Index를 붙여서 표현하면
- $F = \{ A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4} \} = \{ A_{i} | i \in I \}$ 가 되고 여기의 I를 첨수족이라 부른다.

$\cup F = \cup_{A \in F} A = A_{1} \cup A_{2} \cup ... = \{ x | \exists A \in F, x \in A \}$
$\cap F = \cap_{A \in F} A = A_{1} \cap A_{2} \cap ... = \{ x | \forall A \in F, x \in A \}$
ex) 집합족 $F = \{ \{ 1, 2, 3 \}, \{ 2, 3, 4 \}, \{ 3, 4, 5 \} \}$ 에 대하여
- $\cup F = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$
- $\cap F = \{ 3 \}$
- 위 집합족을 첨수집합으로 표기하면 $F = \{ A_{1}, A_{2}, A_{3} \}$ 가 되고, 합집합과 교집합은 다음과 같이 표기 가능하다.
  - $\cup_{i=1}^{3} A_{i} = \cup_{i \in I} A_{i}$
  - $\cap_{i=1}^{3} A_{i} = \cap_{i \in I} A_{i}$
quiz) 만일 첨수족 I에 대하여 $I = \emptyset$ 이라면
- $\cup_{i \in I} A_{i} = \emptyset$
- $\cap_{i \in I} A_{i} = U$
- 첨수집합 I의 합집합은 공집합이 되지만, 교집합은 전체집합이 된다.