(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)
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개념
- 전칭
- $\forall p(x), q(x)$
- 모든 $p(x)$에 대하여 $q(x)$를 만족하면 참
- Ex) 모든 자연수는 0이상이다 : $\forall x \text{는 자연수}, x \geq 0$
- 특칭
- $\exists p(x), q(x)$
- 어떤 $p(x)$에 대하여 $q(x)$를 만족하면 참
- $\exists$ 다음에 $!$를 붙이면 $(\exists!)$ 참인 것이 단 1개만 존재한다는 의미
- 쌍대원리
- $\forall \leftrightarrow \exists$
- 괴델의 완전성 정리
- 논리는 수학에 언어를 제공한다.
- $\exists k_{0} \in A, \forall a \in A, k_{0} \leq a$ : $k_{0}$는 $a$의 최소값
- $\exists p \in \mathbb{N}, \forall a, b \in \mathbb{N}, p = ab \Rightarrow a = 1 \vee b = 1$ : $p$는 1이거나 소수이다.
- $\forall a, b \in A, a = b$ : $a$는 한 원소로 된 집합이다. (또는 공집합)
- $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} \Rightarrow |a-a| < \epsilon$ : $\lim_{n \to \infty} a_{n} = a$
논리식
- $\neg \forall p(x), q(x) \equiv \exists p(x), \neg q(x)$
- $\neg \exists p(x), q(x) \equiv \forall p(x), \neg q(x)$
- $\forall p(x), q(x) \equiv \forall x, p(x) \to q(x)$
- $\exists p(x), q(x) \equiv \exists x, p(x) \wedge q(x)$
- $\forall p(x), q(x) \wedge \forall p(x), r(x) \equiv \forall p(x), q(x) \wedge r(x)$
- $\forall x, p(x) \wedge \forall x, q(x) \equiv \forall x, p(x) \wedge q(x)$
- $\exists x, p(x) \vee \exists x, q(x) \equiv x, p(x) \vee q(x)$
- $\forall x, \forall y, p(x, y) \equiv \forall y, \forall x, p(x, y)$
- $\exists x, \exists y, p(x, y) \equiv \exists y, \exists x, p(x, y)$