(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)
개념
- $(V, +, \cdot)$: 스칼라 $\mathbb{F}$에 대한 벡터 공간 $+ : V \times V \to V, \cdot : \mathbb{F}\times V \to V$
- $\Leftrightarrow$
- $\forall u, v \in V, u + v = v + u$
- $\forall u, v, w \in V, u + (v + w) = (u + v) + w$
- $\exists \vec{0} \in V, \forall \in V, u + \vec{0} = \vec{0} + u$
- $\forall u \in V, \exists (-u) \in V, u + (-u) = (-u) + u = \vec{0}$
- $\forall u \in V, 1 \cdot u = u$
- $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}, \forall u \in V, \alpha \cdot (\beta \cdot u) = (\alpha \cdot \beta) \cdot u$
- $\forall \alpha \in \mathbb{F}, \forall u, v \in V, \alpha \cdot (u + v) = \alpha \cdot u + \alpha \cdot v$
- $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}, \forall u \in V, (\alpha + \beta) \cdot u = \alpha \cdot u + \beta \cdot u$
- 용어
- $\mathbb{F}$의 원소는 스칼라
- $V$의 원소는 벡터
- $+$는 벡터합
- $\cdot$는 스칼라곱
- $(V, +, \cdot)$는 $\mathbb{F}$에 대한 벡터공간
- 벡터공간의 예
- $(\mathbb{F}^{n}, +{c}, \cdot{c}) : \mathbb{F}$에 대한 벡터공간
- 스칼라의 카테시안도 벡터공간이 된다. 위 8가지 조건을 만족함.
- $(M_{m \times n}(\mathbb{F}), +{c}, \cdot{c}) : \mathbb{F}$에 대한 벡터공간
- 행렬도 벡터공간이 된다. 위 8가지 조건을 만족함.
- $(\mathbb{F}^{S}, +', \cdot ') : \mathbb{F}$에 대한 벡터공간
- 함수들도 벡터공간이 된다. 위 8가지 조건을 만족함.
- $(\mathbb{F}^{\mathbb{N}}, +', \cdot ') : \mathbb{F}$에 대한 벡터공간
- 수열공간도 벡터공간이 된다. 위 8가지 조건을 만족함.
- 미지수 $x$에 대하여, $\mathbb{F}= \{a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{n} x^{n} | n \in \mathbb{N}, a_{i} \in \mathbb{F} \}$, '$+$'는 다항식의 덧셈, '$\cdot$' 는 다항식에 스칼라곱이라 같이 정의하면
- $(\mathbb{F}[x], +', \cdot ') : \mathbb{F}$에 대한 벡터공간
- $V$를 "합동이면 같은 것으로 보는 유향 선분의 집합", '$+$'는 "평행사변형식 덧셈", '$\cdot$'는 "길이만 스칼라배 늘리기"로 정의하면
- $(V, +', \cdot '): \mathbb{R}$에 대한 벡터공간
- 벡터공간이라면 다음이 성립한다.
- $\forall u, v, w \in V, u + w = v + w \Leftrightarrow u = v$$latex &s=2$
- $\vec{0}$$latex &s=2$ 는 유일하다.
- $u$마다, $-u$가 유일하다.
- $0 u = \vec{0}$
- $(- \alpha) u = \alpha (-u)$
- $\alpha \vec{0} = \vec{0}$
- $\alpha u = \vec{0} \Rightarrow \alpha = 0 \lor u = \vec{0}$
- $\alpha x = \beta x (x \neq \vec{0}) \Rightarrow \alpha = \beta$
- $\alpha x = \alpha y (\alpha \neq 0) \Rightarrow x = y$
- 벡터공간으로써 구조가 같다.
- $(V, +{1}, \cdot{1}), (W, +{2}, \cdot{2})$$latex &s=2$ : Vector-space Isomorphic (over $\mathbb{F}$)
- $\Leftrightarrow$
- $\exists \phi : V \to W$: 전단사,
- $\phi (a +{1} b) = \phi (a) +{2} \phi (b)$
- $\phi(\alpha \cdot_{1} a) = \alpha \cdot_{2} \phi (a)$
- 이때 $\phi$를 VS isomorphism 이라 부른다.
- $\mathbb{F} \approx \mathbb{F}^{1} \approx M_{1 \times 1} (\mathbb{F})$
- $\mathbb{F}^{n} \approx M_{n \times 1} (\mathbb{F}) \approx M_{1 \times n} (\mathbb{F})$