在工程应用中，特别是信号处理领域，经常会遇到一些关于复信号的计算，一个典型的例子就是著名的快速傅里叶变换（FFT），它会将实信号也映射为复信号。与实信号相比，复信号包含额外的相位信息。某些物体，例如 phase object，其有效信息完全包含在相位信号中。 而且实数作为复数的一个子集，针对复信号设计的算法往往有更加广泛的应用。因此，研究复信号是非常有必要的。
一些余弦波叠加的 FFT 分析（图片来源：维基百科）
常见的对的复信号的处理是将其实部和虚部分开，然后进行单独处理，这样就可以用处理实信号的方法解决复信号的问题。但是，这种方法往往包含很多重复步骤分别用来处理实部和虚部。 我们希望能够直接在复数域进行相关分析，从而让整个算法的结构变得更加精简。
信号复原是信号处理中一个重要的方向，主要研究根据测量结果恢复出原始信号，而这个问题常常被看作是一个优化问题。解决优化问题经常要用到函数的梯度，因此有必要研究复变函数的一些求导理论。
在传统的复变函数理论中，可导性的要求非常严格，具体定义为：如果复变函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 处可导，那么极限 $\lim _{z\to z_0} \cfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$ 总是存在，与 $z$ 趋近于 $z_0$ 的路径无关。因此，若将其写成实部和虚部的形式，那么对于函数 $f(z)=u(z)+jv(z)$ 和变量 $z=x+jy$ , 必须满足条件:
$$ \frac { \partial u } { \partial x } = \frac { \partial v } { \partial y } , \frac { \partial u } { \partial y } = - \frac { \partial v } { \partial x } $$
这一性质与势能函数类似，即做功只与始末位置有关，而与路径无关，比如重力势能只与高度有关。因此其在一个封闭路径上的积分为 0，从而可导函数具有上述的偏导数约束。
这种定义下的导函数是实数导数理论的一个直接推广，但是适用性较窄，使用时限制条件较多。一类典型的不具有这种可导性的函数包括所有的实值复变函数（非常函数）。对于这种函数，$u(z)$ 不为常数，$v(z)=0$ , 因此 $\cfrac { \partial v } { \partial y } = \cfrac { \partial v } { \partial x } = 0$ , 必不满足上述偏导数条件。但是，这类实值函数在实际应用中很常见，一个例子是评价函数。对于一个复原后的复信号，我们对它的评价一定为一个实数，这样才可以用该指标的大小评价信号的好坏（一般复数无法直接比较大小）。在模仿深度学习进行误差反向传播更新的过程中，必然会涉及到实值复变函数的求导，而上述导数定义无法使用，因此引入了 Wirtinger 导数体系解决这个问题。
Wirtinger 导数由 Remmert 与 1995 年提出 [1]，用于解决实值复变函数的问题。首先通过实部与虚部分离的方法研究一个复变函数的微分问题。根据多元函数的微分性质
$$ F(x,y)=U(x,y)+jV(x,y) $$
$$ d F = \frac { \partial F } { \partial x } d x + \frac { \partial F } { \partial y } d y = \frac { \partial U } { \partial x } d x + \frac { \partial V } { \partial x } i d x + \frac { \partial U } { \partial y } d y + \frac { \partial V } { \partial y } i d y $$
,
根据 z 与 x 和 y 的关系，可将其改写成关于 z 的微分：
$$ \begin{array} { l } x = \cfrac { z + z ^ { * } } { 2 } , d x = \cfrac { d z + d z ^ { * } } { 2 } \\ y = \cfrac { z - z ^ { * } } { 2 i } , d y = \cfrac { d z - d z ^ { * } } { 2 i } \end{array} $$
,带入$\mathrm{d}F=\cfrac{\partial F}{\partial z} \mathrm{d}z + \cfrac{\partial F}{\partial z^}\mathrm{d}z^$ 可得