(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)
개념
- $\vec{F} : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}$: 커얼로 써지는 벡터장
- $\Leftrightarrow \exists \vec{A} : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}, \vec{F} = \nabla \times \vec{A}$
- 이때 $\vec{A}$를 벡터포텐셜이라 부른다.
- $\vec{F}$: 커얼로 써지는 벡터장 $\Rightarrow \vec{F}$: 발산하지 않음
- $\vec{F} = \nabla \times \vec{A} \Rightarrow \nabla \cdot \vec{F} = \nabla \cdot (\nabla \times \vec{A}) = 0$
- 헬름홀츠 분해정리 (벡터미적분학의 기본 정리)
- $\vec{F} : \Omega (\subseteq \mathbb{R}^{3}, \text{유계} ) \to \mathbb{R}^{3} : C^{2} \Rightarrow \vec{F} = \vec{G} + \vec{H}$
- $\vec{G}$: 보존적 벡터장
- $\vec{H}$: 커얼로 써지는 벡터장
- 헬름홀츠 분해정리 (정의역이 $\mathbb{R}^{3}$ 전체인 버전)
- $\vec{F} : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3} : C^{2}, \lim_{\|\vec{x}\| \to \infty} \||\vec{x}\|^{2} \|\vec{F}(\vec{x})\| = 0$
- $\Rightarrow \vec{F} = \vec{G} + \vec{H}$
- 헬름홀츠 분해정리의 따름 정리
- $\vec{F} : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3} : C^{2}, \lim_{\|\vec{x}\| \to \infty} \||\vec{x}\|^{2} \|\vec{F}(\vec{x})\| = 0$인 경우
- $\nabla \times \vec{F} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{F} = - \nabla \Phi$
- $\nabla \cdot \vec{F} = 0 \Leftrightarrow \vec{F} = \nabla \times \vec{A}$