https://youtu.be/zNslXtXPmso

• One-to-one mapping (단사함수)
  • $x \neq y \Rightarrow T(x) \neq T(y)$
• Onto mapping (전사함수)
  • $T(V) = W$

Thm 2.4 $T : V \to W$ linear

• $T$: one-to-one $\Leftrightarrow N(T) = \{ 0 \}$
  • $T$가 단사함수면 널공간의 원소는 $0$벡터 뿐이다.
• 증명)
  • $\Rightarrow$
    • $x \in N(T)$
    • $T(x) = 0 = T(0)$
    • $T$는 단사함수이므로 $x = 0$
    • $\therefore N(T) = \{0\}$
  • $\Leftarrow$
    • $T(x) = T(y)$
    • $0 = T(x) - T(y) = T(x -y)$
    • $N(T) = \{0\}$이므로 $x - y = 0$
    • $\therefore x = y$
  • $\therefore T$는 단사함수

Thm 2.5

• $dim(V) = dim(W) < \infty$ 일때
  • (정의역과 공역의 차원이 유한하고 동일할 때)
• $T : V \to W$일 때 다음은 모두 동치이다.
  • $T$ 는 전사 함수
  • $T$ 는 단사 함수
  • $rank(T) = dim(V)$
• 증명)
  • $T$는 단사함수
  • $\Leftrightarrow N(T) = \{0\}$
  • $\Leftrightarrow nullity(T) = 0$
  • $\Leftrightarrow rank(T) = dim(V)$
  • $\Leftrightarrow dim(R(T)) = dim(W)$
  • $\Leftrightarrow R(T) = W$

(예제 생략 - 교재 정리 내용과 동일)

• 증명)
  • $S \subset V, S = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}$일 때 $T$ 가 선형이고 단사함수면 집합 $S$는 선형독립 $\Leftrightarrow T(S)$ 는 선형독립
  • $\Rightarrow$
    • $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} T(v_{i}) = 0$ 라 하면
    • $T(\sum_{i=1}^{n} a_{i}v_{i}) = 0$
    • 단사이므로 $\sum_{i=0}^{n} a_{i} v_{i} = 0$
    • $\therefore \forall i, a_{i} = 0$
    • $T(S)$는 선형독립
  • $\Leftarrow$
    • $\sum_{i=0}^{n} a_{i} v_{i} = 0$
    • $T(\sum_{i=1}^{n} a_{i} v_{i}) = 0$
    • $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} T(v_{i}) = 0$
    • $\therefore \forall i, a_{i} = 0$
  • $\therefore S$는 선형독립

(예제 생략 - 교재 정리 내용과 동일)

Thm 2.6

• $V, W$가 $F$벡터공간일 때
  • $V$의 기저 $\{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}$에 대하여
  • $W$의 원소 $w_{1}, w_{2}, ... , w_{n}$를 만드는 선형 변환 $T : V \to W$는 유일하게 존재한다. ($\forall i, T(v_{i}) = w_{i}$)

Corollary

• $V, W$가 $F$-벡터공간일 때
  • $V$의 기저 $\{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}$에 대하여
  • 선형변환 $U, T : V \to W$가 $U(v_{i}) = T(v_{i})$ 이면 $U = T$
  • 기저가 같은 곳으로 매핑되면 다른 원소들은 같은 곳으로 매핑된다.

(예제 생략 - 교재 정리 내용과 동일)

Matrix representation

• 순서기저
  • $F^{3}$에 대하여 $\beta = \{ e_{1}, e_{2}, e_{3} \}, \gamma = \{ e_{2}, e_{1}, e_{3} \}$ 이라 할 때
    • $e_{1}, e_{2}, e_{3}$는 표준기저
  • $\beta, \gamma$가 순서기저면 그 둘은 같지 않다. $\beta \neq \gamma$
  • $\{ e_{1}, e_{2}, ... , e_{n} \}$는 $F^{n}$의 표준순서기저이고
  • $\{ 1, x, ... , x^{n} \}$는 $P_{n}(F)$의 표준순서기저이다.
  • 순서기저이기 때문에 순서가 중요하고, 순서가 달라지면 다른 기저가 된다.