https://youtu.be/sDZB7ozFytk

개론

Vector

• 물리에서의 Vector - 크기와 방향이 있는 것
• 수학에서의 Vector - $[ 1 \, 2 \, 3 \, 4 ]$

Field (체)

• 아래의 조건을 만족하는 집합을 Field(체)라고 한다.
  • 2개의 이항 연산을 갖고 있음 $(+, \cdot)$
    • 예시는 덧셈과 곱셈이지만 항상 덧셈과 곱셈일 필요는 없다. 여하튼 2개의 연산을 갖고 있고, 두 연산이 이하의 조건을 만족하기만 하면 된다.
  • 닫혀 있음
  • 2개의 이항 연산이 모두 교환법칙(commutative)이 성립해야 함
    • $a + b = b + a$
    • $a \cdot b = b \cdot a$
  • 2개의 이항 연산이 모두 결합법칙(associative)이 성립해야 함
    • $(a + b) + c = a + (b + c)$
    • $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
  • 2개의 이항 연산에 모두 항등원이 존재해야 함
    • $0 + a = a$ (additive identity)
    • $1 \cdot a = a$ (multiplicative identity)
    • (연산에 항등원이 존재한다는 것은 해당 연산에 기준점이 존재한다는 의미)
  • 2개의 이항 연산에 모두 역원이 존재해야 함
    • $a + (-a) = 0$ (additive inverse)
    • $b \cdot b^{-1} = 1$ (multiplicative inverse)
  • 2개의 연산에 대해 분배법칙(distributive)이 성립해야 함
    • $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Examples of Field

• $Z_{n}$을 정수를 $n$으로 나눈 나머지의 집합이라고 가정할 때,
  • $Z_{2}$는 체를 만족한다.
  • 마찬가지로 $Z_{3}, Z_{5}, Z_{7}$는 체를 만족한다.
  • 일반적으로 $n$이 소수인 경우에는 체가 만족된다.
• 정수 집합, 자연수 집합은 Field가 아니다.

Vector Space

• 벡터 공간은 벡터들의 집합이고 다음 조건을 만족한다.
  • $(+, \cdot)$ 연산이 정의되어 있음.
    • $$+$는 벡터간의 더하기인데 반해
    • $\cdot$는 벡터와 스칼라의 곱이기 때문에, $\cdot$은 이항연산이라는 표현을 하지 않음
  • $x, y \in V, a, b \in F$에 대하여 ($x, y$는 벡터의 원소, $a, b$는 체의 원소)
    • 닫혀 있음
    • 벡터간 $+$ 연산이 교환법칙이 성립해야 함
      • $x + y = y + x$
    • 벡터간 $+$ 연산이 결합법칙이 성립해야 함
      • $(x + y) + z = x + (y + z)$
    • 벡터간 $+$ 연산과 벡터-스칼라의 $\cdot$ 연산이 항등원을 갖고 있어야 함.
      • $\exists 0 \in V : x + 0 = x$
      • $\forall x \in V : 1 \cdot x = x$
    • 벡터와 스칼라의 $\cdot$ 연산에 교환법칙이 성립해야 함
      • $x \in V, a, b \in F : (a \cdot b) \cdot x = a \cdot (b \cdot x)$
      • 스칼라간 $\cdot$과 벡터-스칼라간 $\cdot$는 서로 다른 연산임에 주의
    • 벡터와 스칼라 연산에 분배법칙이 성립해야 함
      • $a(x + y) = ax + ay$
      • $(a + b) x = ax + bx$
• (일반적으로 벡터와 벡터 공간에 대해 설명할 때, 벡터 공간을 정의하는데 벡터가 필요하고 --벡터와 연산에 대한 집합--, 벡터를 정의하는데 벡터 공간이 필요한데 --벡터는 벡터공간의 원소-- 정의가 순환적이라고 느껴진다. 아마도 벡터 공간을 정의할 때 필요한 집합을 임의의 것으로 하고, 그렇게 정의된 벡터 공간에 포함된 원소를 벡터로 정의하는게 맞는 것 같다.)
• 참고) n-tuple 은 체(F)의 원소가 n개 나열된 것을 의미한다.
  • $(a_{1}, a_{2}, ... , a_{n})$
  • (생긴게 비슷하지만 다르니 주의)
• 행렬도 벡터 공간의 정의를 만족하기 때문에 벡터 공간의 원소라 할 수 있다.
  • $M_{m \times n} (F) = \{ [a_{i, j}]{m \times n} | a{i, j} \in F \}$
  • $\left( \begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \end{array} \right) \in M_{2 \times 3}(F)$