• 미분은 함수의 입력 값의 변화에 대한 출력 값의 변화의 민감도를 측정하는 방법으로 그 결과는 일반적으로 기울기로 이해된다.

미분 기호

• 함수 $f$에 대한 미분 기호는 다음과 같다.
  • 분자에는 미분할 대상, 분모에는 그 대상 안의 실제 미분할 매개변수라고 이해하면 쉽다.

$$ f' = {d \over dx}(f) = {d \over dx} f = {df \over dx} = {d \over dx}(y) = {d \over dx}y = {dy \over dx} $$

• 미분을 2번 하는 경우 다음과 같이 표시한다.
  • 이것을 일반화 시키면 $n$번에 대해 표기 가능.

$$ f'' = {d^2 \over dx^2}(f) = {d^2 \over dx^2} f = {d^2 f \over dx^2} = {d^2 \over dx^2}(y) = {d^2 \over dx^2}y = {d^2 y \over dx^2} $$

• 일반적으로 미분을 나타내는 식 ${df \over dx}$에서 $dx$는 $x$로 함수 $f$를 미분한다는 표기일 뿐이지만, 경우에 따라 $dx$를 $x$에 대한 미소변화량을 나타내는 변수로 생각해도 타당하다. 이것은 다음이 성립한다는 뜻이다.
  • 이 경우 함수 $f(x)$를 $x$에 대한 미소변화량 $dx$로 나눈다는 의미가 된다. 이는 점 $x$에서의 미분이 해당 점에서의 기울기를 의미한다는 점에서 타당하다.

$$ {df(x) \over dx} = g(x) \Rightarrow df(x) = g(x)dx $$

• 이것은 적분에 대해서도 비슷한 개념으로 적용할 수 있다. 다시 말해 아래의 적분은 구간 $[-\infty, \infty]$에 걸쳐 함수 $f(x)$에 $x$의 미소변화량 $dx$를 곱한 것을 모두 합한다는 의미로 생각할 수 있다.
  • 이는 애초에 적분이 구간에 걸쳐 미소한 양으로 쪼갠 뒤 그것을 모두 합한다는 의미에서 볼 때 타당하다.

$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx $$

상수 미분

• 상수를 미분하면 0이 된다.

$$ {d \over dx}(c) = 0 $$

거듭제곱 미분

• 이는 역수나 제곱근에서도 동일하게 적용할 수 있다.

$$ \begin{aligned} {d \over dx} (x^n) &= n x^{n-1} \\ {d \over dx} {1 \over x^2} &= {d \over dx} x^{-2} = -2x^{-3} = -{2 \over x^3} \\ {d \over dx} \sqrt{x} &= {d \over dx} x^{1 \over 2} = {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}} \end{aligned} $$

지수 미분

$$ \begin{aligned} {d \over dx} a^x &= a^x \log_e a = a^x \ln a \ (a > 0) \\ {d \over dx} e^x &= e^x \log_e e = e^x \end{aligned} $$

로그 미분