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[선형대수학] Vector Space 벡터공간 (1)

→ subject : 벡터공간, 부분공간, 생성

1.5 Linear Dependence & Linear Independence 일차종속과 일차독립

Definition

Linearly dependent ↔ Linearly independent

벡터공간 $V$의 부분집합 $S$에 대하여 $a_iu_i+a_2u_2+...+a_nu_n=0$을 만족하는 유한개의 서로 다른 벡터 $u_1,u_2, ...,u_n\in S$와, 적어도 하나는 0이 아닌 스칼라 $a_1, a_2, ...,a_n$이 존재하면 집합 $S$는 **일차 종속 (linearly dependent)**이라고 한다. 이때 $S$의 벡터 또한 일차종속이다.

a set $S=\{V_i\}(\sub V)$ is called linearly dependent $\quad\Leftrightarrow\quad \exist v_j\in S\quad s.t.\ v_j = \sum_{i\ne j}{c_iv_i}$

$\sum{c_iv_i} = 0\ (c_j=-1(\ne0))$  ↔  existence of non-trivial way to represent zero vector 또한, 벡터의 집합이 선형 종속이 아니면 선형 독립이다.

a set $S=\{V_i\}(\sub V)$ is called linearly independent $\quad\Leftrightarrow\quad [\ \sum{c_iv_i} = 0 \Rightarrow \forall {c_i = 0}\ ]$ ↔ there’s only trivial way to represent zero vector

영벡터의 자명한 표현 (trivial representation of $0$) ⇒ 집합이 일차종속이면, 적절한 벡터를 택하여 영벡터를 자명하지 않은 방식으로 표현 가능하다.

**또한, 영벡터 $0$을 포함하는 모든 부분집합은 일차종속이다. $0=1\cdot 0$은 영벡터의 자명하지 않은 표현이기 때문이다.

$c\in \mathbb Z$* 인 경우에 대해서, 약간의 곤란함이 있다. 2)의 서술이 좀더 범용성있고 세련된 서술이다.

<aside> 💡 일차독립인 집합에 대한 다음 명제는 모든 벡터공간에서 참이다.

명제 1 공집합은 일차독립이다. 명제 2 영이 아닌 벡터 하나로 이루어진 집합은 일차독립이다. 명제 3 어떤 집합이 일차독립이기 위한 필요충분조건은 $0$을 주어진 집합에 대한 일차결합으로 표현하는 방법이 자명한 표현 뿐인 것이다.

[observe] $\{v_1, v_2\}$ is linearly independent, then

⇒ $\langle \{v_1\}\rangle\oplus\langle \{v_2\}\rangle = \langle \{v_1,v_2\}\rangle$ ⇒ $\langle {v_1}\rangle \cap \langle {v_2}\rangle = \{0\}$

⇒ $\{c_iv_i\} + \{c_2v_2\}=\{c_1v_1 + c_2v_2\}$

$\langle (1,0), (0,1) \rangle = \mathbb R^2$

$\langle (1,0), (0,1), (1,1) \rangle = \mathbb R^2$

</aside>

Theorem

정리 1.6

$V$는 벡터공간이고 $S_1 \sube S_2 \sube V$이다. $S_1$이 일차종속이면 $S_2$도 일차종속이다.

Corollary 정리 1.6의 따름정리

$V$는 벡터공간이고, $S_1 \sube S_2 \sube V$이다. $S_2$가 일차독립이면 $S_1$도 일차독립이다.

proof

정리 1.6 [$V$는 벡터공간이고 $S_1 \sube S_2 \sube V$이다. $S_1$이 일차종속이면 $S_2$도 일차종속이다.]

$S_1 = \{u_i | i = 1, 2, ...\ k\}, \ S_2 = \{u_i|i = 1, 2, ..\ ,k,..\ n\}$ 이라고 하자, $S_1 \sube S_2$ 이다. $S_1$이 일차 종속이면, $\ 0=c_1u_1 + c_2u_2 + ... c_ku_k$를 만족하는 자명(trivial, $\forall c_i = 0$)하지 않은 해가 존재한다는 명제와 필요충분조건이다. 즉, $\exist c_j \ne 0$ 이다.

한편 $S_2$의 원소들의 일차 결합을 다음과 같이 표현할 수 있다. $v = d_1u_1+d_2u_2+...+d_nu_n$ 그러면, $d_1 = c_1, d_2 = c_2 , ... ,d_k = c_k,\quad d_{k+1} = 0, ... , d_n=0$ 와 같은 스칼라 n-tuple $d = (c_1, c_2, ... c_k , 0, ... 0)$ 를 얻을 수 있고, 이는 $S_2$의 원소들로 이루어진 영벡터의 자명하지 않은 표현이 되므로 $S_2$는 일차 종속이다.

따름정리 [$V$는 벡터공간이고, $S_1 \sube S_2 \sube V$이다. $S_2$가 일차독립이면 $S_1$도 일차독립이다.] ⇒ [간접증명법] $S_2$가 일차 독립일 때, $S_1$가 일차 종속이라고 하면, 정리 1.6에 의해 $S_2$는 일차 종속이어야 한다. 이는 가정과 모순이다. (벡터의 유한집합은 반드시 일차 종속이거나, 일차 독립이므로) 따라서, $S_2$가 일차독립이면 $S_1$또한 일차독립이다.

정리 1.7

벡터공간 $V$ 그리고 일차독립인 부분집합 $S$를 생각하자.

$S$ 에 포함되지 않는 벡터 $v\in V$에 대하여, $S\cup \{v\}$ 가 일차종속이기 위한 필요충분조건은 $v \in \langle S\rangle$ 이다.

proof

$1)\ S\cup\{v\}$는 일차 종속 $\quad\rightarrow\quad v\in\langle S\rangle$

$S \cup \{v\}$ 가 일차종속이면 다음 식을 만족하는 벡터 $u_1, u_2,...,u_n\in S\cup \{v\}$와 스칼라 $a_1,a_2,...,a_n$ 이 존재한다. (단, $\exist a_i \ne 0$) $a_1u_1+a_2u_2+...+ a_nu_n = 0$

위 벡터들 중, 어떤 $i$에 대해 $u_i = v$라고 할 수 있다. 그런데 만약 $a_i =0$ 이면, $a_iu_i = 0$이 되고, $S$는 일차독립이므로, $u_i =v$를 제외한 나머지 벡터들로는 $\forall a_{j\ne i} = 0$ 인 자명한 표현 밖에 얻을 수 없다.

따라서 $a_i\ne 0$이다. 그러면 위 식을 적절히 변형하여 $u_i =v= -a_i^{-1}(\sum_{j\ne i}{a_ju_j}) \in \langle S\rangle$ 임을 알 수 있다.

$2)\$ $v\in\langle S\rangle \quad\rightarrow\quad S\cup \{v\}$는 일차 종속

$\{v_1,v_2,...,v_m\}= S$라고 하면 $v = b_1v_1+b_2v_2+...+b_mv_m$ 을 만족하는 $b=(b_1,b_2,...,b_n)$로의 표현이 가능한데, 즉시

$0=b_1v_1+b_2v_2+...+b_mv_m +(-1)v$ 이고, $v\notin S$ 이므로 $S\cup \{v\}=\{v_1,v_2,...,v_m,v\}$는 일차 종속이 된다.