(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)
개념
- 선 C를 점 $\vec{x}{1}, \vec{x}{2}, ... , \vec{x}{n}$으로 분할 하면 C의 i번째 조각의 길이는 $\|\vec{x}{i} - \vec{x}{i-1}\|$가 된다. 이때 i번째 조각에서 뽑은 함수 값을 $f(\vec{x}{i})$로 두면 선적분은 다음과 같이 정의 된다.
- $\lim_{n \to \infty} \sum_{i}^{n} f(\vec{x}{i}) \|\vec{x}{i} - \vec{x}_{i-1} \|$
- $= \lim_{\|P\| \to 0} \sum_{i}^{n} f(\vec{x}{i}) \|\vec{x}{i} - \vec{x}_{i-1} \|$
- $= \int_{\vec{x} \in C} f(\vec{x}) \|d\vec{x} \|$
- $C : \vec{\alpha}, a \leq t \leq b$로 매개화 된 경우, $\vec{x}{i} = \vec{\alpha} (t{i})$가 되고
- $\lim_{\|P\| \to 0} \sum_{i}^{n} f(\vec{\alpha} (t_{i})) \|\vec{\alpha} (t_{i}) - \vec{\alpha} (t_{i-1}) \|$
- $= \lim_{\|P\| \to 0} \sum_{i}^{n} f(\vec{\alpha} (t_{i})) \|{\vec{\alpha} (t_{i}) - \vec{\alpha} (t_{i-1}) \over t_{i} - t_{i-1}} \| \|t_{i} - t_{i-1} \|$
- $= \int_{a \leq t \leq b} f(\vec{\alpha}(t)) \|{d \over dt} \vec{\alpha}(t)\| dt$
- $= \int_{a}^{b} f(\vec{\alpha}(t)) \| \dot{\vec{\alpha}} (t) \| dt$