https://youtu.be/I_btU_4dQyU

부분순서집합

정의

부분순서관계

반사적, 반대칭적, 추이적인 관계

• ex 1) 두 집합 $A, B$ 에 대하여 $A \subseteq B$
• ex 2) 두 실수 $x, y$ 에 대하여 $x \leq y$
• ex 3) 두 자연수 $n, m$ 에 대하여 $n$이 $m$의 배수인 관계

부분순서집합

집합 $A$ 상에 부분순서관계 $\leq$ 가 주어진 경우 $A$를 부분순서집합이라 하고 이를 $(A, \leq)$ 로 나타내기도 한다.

• 집합 $A$에 $\leq$ 관계가 부여 됐을 뿐이지, 집합 $A$의 모든 원소들이 순서 관계를 가져야 하는 것은 아니다.
• ex) $A = \{ \emptyset, \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 1, 2 \} \}$ 일 때,
  • 다음의 관계는 성립하지만
    • $\emptyset \to \{ 1 \}$
    • $\emptyset \to \{ 2 \}$
    • $\emptyset \to \{ 1, 2 \}$
    • $\{ 1 \} \to \{ 1, 2 \}$
    • $\{ 2 \} \to \{ 1, 2 \}$
  • 다음의 관계는 성립하지 않는다.
    • $\{ 1 \} \to \{ 2 \}$
    • $\{ 2 \} \to \{ 1 \}$
  • 즉 모든 원소들이 부분순서 관계를 갖지는 않는다는 것.

극대원소와 극소원소

$A$가 부분순서집합이라 할 때,

• $\forall x \in A, x \geq a \Rightarrow x = a$를 만족하는 $A$의 원소 $a$를 극대원소,
• $\forall x \in A, x \leq b \Rightarrow x = b$ 를 만족하는 $A$의 원소 $b$를 극소원소라 한다.
• ex) 멱집합 $P(X)$ 에서 $\emptyset, X$
• 극대, 극소 원소는 유일하지 않다. 극대, 극소는 최대, 최소와는 다르다.
• ex) 집합 $A = \{ a, b, c, d, e \}$ 의 관계가 다음과 같다면
  • $a \to c$
  • $b \to c$
  • $b \to d$
  • $d \to e$
  • c, e는 극대원소가 되고
  • a, b는 극소원소가 된다.

최대원소와 최소원소