연속사상

실수의 연속함수로부터 위상구조의 연속성을 보존하는 연속사상을 정의한다.

Def 1. [실변수함수의 연속]

함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$가 $x_{0} \in \mathbb{R}$에서 연속이다.
- $\Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : |x - x_{0}| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_{0})| < \epsilon$
- 즉, $x \in (x_{0} - \delta, x_{0} + \delta) \Rightarrow f(x) \in (f(x_{0}) - \epsilon, f(x_{0}) + \epsilon)$
$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$가 연속함수다
- $f$가 임의의 $x_{0} \in \mathbb{R}$에서 연속이다.

Def 2. [연속사상]

사상 $f : X \to Y$가 $x_{0} \in X$에서 연속이다.
- $f(x_{0})$를 포함하는 임의의 열린집합 $V(\subset Y)$에 대하여, $x_{0}$를 포함하는 열린집합 $U(\subset X)$ 가 존재해 $f(U) \subset V$를 만족한다.
$f : X \to Y$가 연속사상이다.
- $f$가 임의의 $x_{0} \in X$에서 연속이다.

ex) 집합 $X = \{ 1, 2, 3 \}$ 위의 위상 $\mathfrak{I} = \{ \emptyset, X, \{1\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\} \}$에 대하여, 사상 $f : X \to X$를 $f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 3$이라 정의하면, $f$는 1과 3에서 연속이지만 2에서는 연속이 아니다. 즉, $f$는 연속사상이 아니다.

사상에서 연속임을 증명할 때는 공역에서 먼저 시작해서 그 조건을 만족하는 열린집합을 정의역에서 잡아줄 수 있으면 연속사상이 된다.
- 이런 조건은 상당히 일반화된 것이기 때문에 직관적으로 이해하기는 쉽지 않다.

Thm 1. [연속사상의 또 다른 정의]

사상 $f : X \to Y$에 대하여 다음 두 명제는 동치이다.

$f$는 연속사상이다.
$Y$의 임의의 열린집합 $V$의 역상 $f^{-1}(V)$가 $X$에서 열린집합이다.

정의에 따라 연속임을 증명하려면 열린집합을 일일이 체크해야 하는데, 이게 너무 번거롭기 때문에 일반적으로 이 정의를 따라 연속임을 판명함.
주의할 점은 역함수를 잡을 수 없는 경우 $\emptyset$이 되는데, 이것 또한 위상의 정의상 위상의 원소가 되기 때문에 연속이 된다. 정의가 그러한 것

Cor. [닫힌집합과 연속사상]