(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)
개념
- 델 연산자 $\vec{\nabla} = ({\partial \over \partial x_{1}}, {\partial \over \partial x_{2}} , ... , {\partial \over \partial x_{n}})$
- $grad f = \vec{\nabla} f = ({\partial f \over \partial x_{1}}, {\partial f \over \partial x_{2}} , ... , {\partial f \over \partial x_{n}})$ (grad는 그레디언트)
- 표기법 $d f$
- $= {\partial f \over \partial x_{1}} dx_{1} + {\partial f \over \partial x_{2}} dx_{2} + ... + {\partial f \over \partial x_{n}} dx_{n}$
- $= ({\partial f \over \partial x_{1}}, {\partial f \over \partial x_{2}}, ... , {\partial f \over \partial x_{n}}) \cdot (dx_{1}, dx_{2}, ... , dx_{n})$
- $= \nabla f \cdot d \vec{x}$
- 방향 미분
- $D_{\hat{u}} f := \lim_{h \to 0} {f(\vec{x} + h \cdot \hat{u}) - f(\vec{x}) \over h}$
- 점 $\vec{x}$ 에서 $\hat{u}$ 방향으로 진행할 때의 접선의 기울기
- $D_{\hat{u}} f = \vec{\nabla} f \cdot \hat{u}$
- $\nabla f = \vec{0} \Rightarrow \forall \hat{u}, D_{\hat{u}} f = 0$
- 그레디언트가 0인 점은 모든 방향으로 가도 접선의 기울기가 0이다.
- 점 $\vec{x}$ 에서 $f(\vec{x})$가 가장 빨리 증가하는 방향은 벡터 $\nabla f$의 방향이다.
미분식
- $\vec{\nabla} (c \cdot f) = c \cdot \vec{\nabla} f$
- $\vec{\nabla} (f + g) = \vec{\nabla} f + \vec{\nabla} g$
- $\vec{\nabla} (f \cdot g) = f \cdot \vec{\nabla} g + g \cdot \vec{\nabla} f$