https://youtu.be/y9C9WDC_V-Q

자연수

• 자연수로부터 실수체계를 단계적으로 구성 가능하다는 것을 바이어슈트라스, 데데킨트가 증명 함

페아노 공리계

자연수는 다음의 다섯 가지 공리로 이루어진 페아노 공리계를 만족하는 수체계이다.

1. $1 \in \mathbb{N}$
2. $n \in \mathbb{N} \Rightarrow n' \in \mathbb{N}$
3. $\forall n \in \mathbb{N}, 1 \neq n'$
   • 1은 자연수의 최소원소
4. $\forall m \in \mathbb{N}, n' \neq m' \Rightarrow n = m$
   • 자연수의 순서 구조가 순환하는 것을 방지하기 위한 공리
   • 만일 1 다음이 2, 2 다음이 3, 3 다음이 4, 4 다음이 2라는 집합이 있다면 1의 다음수와 4의 다음수가 같아져 버리는 경우가 발생. 그래서 다음 수가 같다면 두 수는 같다고 정의가 필요.
5. $1 \in S \wedge (\forall n \in S, n' \in S) \Rightarrow \mathbb{N} \subseteq S$
   • 집합 내에 1이 존재하고 집합 내 모든 원소가 다음 수를 갖는 집합은 자연수 집합을 포함한다.
   • $1 \in S \wedge (\forall n \in S, n' \in S)$을 만족하는 집합을 계승집합이라고 한다.
   • 자연수 집합은 가장 작은 계승집합이다.

'1'과 '그 다음 수'는 무정의 용어이다. (primitive notion, 더는 정의를 할 수 없는 근본 원리)

Thm. [수학적 귀납법]

$n' = n + 1$이라 정의할 때, 명제 $P(n)$에 대하여 두 조건

1. $P(1)$이 참
2. $P(n)$이 참 $P(n+1)$이 참

이 성립하면 $P(n)$은 모든 자연수 $n$에 대하여 참이다.

(수학적 귀납법의 이론적 근거가 페아노 공리계의 5번째 공리)

자연수의 성질

1. 정렬성
   • 자연수집합 $\mathbb{N}$의 공집합이 아닌 부분집합은 항상 최소원소를 갖는다.