(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)
개념
- 원통좌표계 $(R, \theta, z)$
- $R$ : xy 평면상에서 원점부터의 거리
- $\theta$: x축에서 y축으로 돌아간 각도 $(0 \leq \theta < 2 \pi)$
- $z$ : 높이
- 직교 좌표계의 단위 벡터 $\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$를 원통좌표계의 단위벡터 $\hat{R}, \hat{\theta}, \hat{z}$로 고치기
- $\hat{R} = \cos \theta \hat{x} + \sin \theta \hat{y}$
- $\hat{\theta} = - \sin \theta \hat{x} + \cos \theta \hat{y}$
- $\hat{z} = \hat{z}$$latex &s=2$
- $\hat{x} = \cos \theta \hat{R} - \sin \theta \hat{\theta}$
- $\hat{y} = \sin \theta \hat{R} + \cos \theta \hat{\theta}$
- $\hat{z} = \hat{z}$
- 미소량 $dx, dy, dz, dx \wedge dy, dy \wedge dz...$ 등을 $dR, d\theta, dz$로 고치기
- $dx = \cos \theta dR - R \sin \theta d\theta$
- $dy = \sin \theta dR + R \cos \theta d\theta$
- $dz = dz$
- $dx \wedge dy = R dR \wedge d\theta$
- $dx \wedge dy \wedge dz = R dR \wedge d\theta \wedge dz$
- $d \vec{l} = dR \hat{R} + R d\theta \hat{\theta} + dz \hat{z}$
- 직교좌표계의 편미분 ${\partial f \over \partial x}, {\partial f \over \partial z}$를 ${\partial \over \partial R}, {\partial \over \partial \theta}$로 고치기
- ${\partial f \over \partial x} = \cos \theta {\partial f \over \partial R} - {\sin \theta \over R} {\partial f \over \partial \theta}$
- ${\partial f \over \partial y} = \sin \theta {\partial f \over \partial R} + {\cos \theta \over R} {\partial f \over \partial \theta}$
- ${\partial f \over \partial z} = {\partial f \over \partial z}$
- $\nabla f, \nabla \cdot \vec{F}, \nabla \times \vec{F}, \nabla^{2} f$를 원통좌표계 표현법으로 고치기
- $\nabla f = {\partial f \over \partial R} \hat{R} + {1 \over R} {\partial f \over \partial \theta} \hat{\theta} + {\partial f \over \partial z} \hat{z}$
- $\nabla \cdot \vec{F} = div(F_{R}\hat{R} + F_{\theta}\hat{\theta} + F_{z}\hat{z})$
- $= {1 \over R} {\partial \over \partial R} (R F_{R}) + {1 \over R} {\partial F_{\theta} \over \partial \theta} + {\partial F_{z} \over \partial z}$
- $\nabla \times \vec{F} = curl(F_{R}\hat{R} + F_{\theta}\hat{\theta} + F_{z}\hat{z})$
- $= ({1 \over R} {\partial F_{z} \over \partial \theta} - {\partial F_{\theta} \over \partial z}) \hat{R} + ({\partial F_{R} \over \partial z} - {\partial F_{R} \over \partial R}) \hat{\theta} + {1 \over R} ({\partial \over \partial R} (R F_{\theta}) - {\partial F_{R} \over \partial \theta}) \hat{z}$
- $\nabla^{2} f = div(\nabla f)$
- $= {1 \over R} {\partial \over \partial R} (R {\partial f \over \partial R}) + {1 \over R^{2}} {\partial^{2} f \over \partial \theta^{2}} + {\partial^{2} f \over \partial z^{2}})$
- 구면좌표계 $(r, \theta, \phi)$
- $r$ : 원점부터의 거리
- $\theta$: xy 평면상에서 x축에서 y축으로 돌아간 각도 $(0 \leq \theta < 2 \pi)$
- $\phi$: z축과 r사이의 각도 (z축에서 xy평면으로 내려오는 각도 $(0 \leq \phi < \pi)$
- 좌표 변환
- $x = r \sin \phi \cos \theta$
- $y = r \sin \phi \sin \theta$
- $z = r \cos \phi$
- $r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$
- $\theta = \arctan {y \over x}$
- $\phi = \arctan {\sqrt{x^{2} + y^{2}} \over z}$
- 단위벡터 변환
- $\hat{r} = \sin \phi \cos \theta \hat{x} + \sin \phi \sin \theta \hat{y} + \cos \phi \hat{z}$
- $\hat{\theta} = - \sin \theta \hat{x} + \cos \theta \hat{y}$
- $\phi = \hat{\theta} \times \hat{r} = \cos \theta \cos \phi \hat{x} + \sin \theta \cos \phi \hat{y} + \sin \phi \hat{z}$
- $\hat{x} = \cos \theta \sin \phi \hat{r} - \sin \theta \hat{\theta} + \cos \theta \cos \phi \hat{\phi}$
- $\hat{y} = \sin \theta \sin \phi \hat{r} + \cos \theta \hat{\theta} + \sin \theta \cos \phi \hat{\phi}$
- $\hat{z} = \cos \phi \hat{r} - \sin \phi \hat{\phi}$
- 미소량 표현
- $dx, dy, dz \leftrightarrow dr, d\theta, d\phi$
- $dx \wedge dy \wedge dz = r^{2} \sin \phi dr \wedge d\theta \wedge d\phi = dv$
- $d\vec{l} = dr\hat{r} + r \sin \phi d\theta \hat{\theta} + r d\phi \hat{\phi}$
- ${\partial f \over \partial x} = \cos \theta \sin \phi {\partial f \over \partial r} - {\sin \theta \over r \sin \phi} {\partial f \over \partial \theta} + {\cos \theta \cos \phi \over r} {\partial f \over \partial \phi}$
- ${\partial f \over \partial y} = \sin \theta \sin \phi {\partial f \over \partial r} - {\cos \theta \over r \sin \phi} {\partial f \over \partial \theta} + {\sin \theta \cos \phi \over r} {\partial f \over \partial \phi}$
- ${\partial f \over \partial z} = \cos \phi {\partial f \over \partial r} - {\sin \phi \over r} {\partial f \over \partial \phi}$
- $\nabla f, \nabla \cdot \vec{F}, \nabla \times \vec{F}, \nabla^{2} f$ 를 구면좌표계 표현법으로 고치기
- $\nabla f = {\partial f \over \partial r} \hat{r} + {1 \over r \sin \phi} {\partial f \over \partial \theta} \hat{\theta} + {1 \over r} {\partial f \over \partial \phi} \hat{\phi}$
- $\nabla \cdot \vec{F} = div(F_{r}\hat{r} + F_{\theta}\hat{\theta} + F_{\phi}\hat{\phi})$
- $= {1 \over r^{2}} {\partial \over \partial r} (r^{2} F_{r}) + {1 \over r \sin \phi} {\partial F_{\theta} \over \partial \theta} + {1 \over r \sin \phi} {\partial \over \partial \phi} (\sin \phi F_{\phi})$
- $\nabla \times \vec{F} = curl(F_{r}\hat{r} + F_{\theta}\hat{\theta} + F_{\phi}\hat{\phi})$
- $= {1 \over r \sin \phi} ({\partial \over \partial \phi} (\sin \phi F_{\theta}) - {\partial F_{\theta} \over \partial \theta}) \hat{r} + {1 \over r} ({\partial \over \partial r} (r F_{\phi}) - {\partial F_{r} \over \partial \phi}) \hat{\theta} + {1 \over r} ({1 \over \sin \phi} {\partial F_{r} \over \partial \theta} - {\partial \over \partial r} (r F_{\theta})) \hat{\phi}$
- $\nabla^{2} f = div(\nabla f)$
- $= {1 \over r^{2}} {\partial \over \partial r} (r^{2} {\partial f \over \partial r}) + {1 \over r^{2} \sin^{2} \phi} {\partial^{2} f \over \partial \theta^{2}} + {1 \over r^{2} \sin \phi} {\partial \over \partial \phi}(\sin \phi {\partial f \over \partial \phi})$
- 좌표계와 무관한 div, curl의 정의
- $div \vec{F} = \lim_{v \to 0} {1 \over v} \int_{\partial v} \vec{F} \cdot d\vec{A}$
- $curl \vec{F} = \lim_{v \to 0} {1 \over v} \int_{\partial v} \vec{F} \times d\vec{A}$