주어진 특징 점들을 포함하는 함수를 구하는 방법
정리) 좌표평면에 있는 임의의 서로 다른 $n$개의 점을 지나는 $k$차 다항함수는 유일하게 존재한다. (단 $n$는 $k < n$인 자연수)
네 점 $(1, 3), (2, -2), (3, -5), (4, 0)$을 모두 지나는 3차 함수
$f(x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3}$
를 구하자. 우선 다음의 방정식을 세운다.
Step 1)
$\left( \begin{array}{rrrr} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & x_{1}^{3} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & x_{2}^{3} \\ 1 & x_{3} & x_{3}^{2} & x_{3}^{3} \\ 1 & x_{4} & x_{4}^{2} & x_{4}^{3} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrr} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \end{array} \right)$
Step 2) 네 점을 대입하고 첨가행렬을 만든다.
$\left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 4 & 8 & -2 \\ 1 & 3 & 9 & 27 & -5 \\ 1 & 4 & 16 & 64 & 0 \end{array} \right)$
Step 3) 첨가행렬을 가우스-조던 소거법을 이용하여 풀이한다.
$\left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 4 & 8 & -2 \\ 1 & 3 & 9 & 27 & -5 \\ 1 & 4 & 16 & 64 & 0 \end{array} \right) \Rightarrow \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right)$
Step 4)
$a_{0} = 4, a_{1} = 3, a_{2} = -5, a_{3} = 1$ 이므로 $f(x) = 4 + 3 x - 5 x^{2} + x^{3}$이다.
https://drive.google.com/uc?id=1hlhM6tBiNB53l2E07Bm4LG0tdcOfLG_r