(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)
1
개념
- $X$ : 가산 $\Leftrightarrow X \sim \mathbb{N}$
- $X$ : 가산 or 가산 $\Leftrightarrow$ 기껏가산
- $X$ : 가산, $Y$ : 무한, $Y \subseteq X \Rightarrow Y$: 가산
- $X$가 가산이고, $Y$가 무한집합인데, $Y$가 $X$의 부분집합이면 $Y$는 가산집합
- $A, B$ : 가산 $\Rightarrow A \cup B$ : 가산
- $A, B$가 가산이면 그 둘의 합집합도 가산
- $A_{k}$: 가산 $\Rightarrow \cup_{k=1}^{n} A_{k}$ : 가산
- $A_{k}$가 가산이면 $A_{k}$의 합집합도 가산
- $\mathbb{Z}$ : 가산
- $A, B$ : 가산 $\Rightarrow A \times B$: 가산
- $A, B$가 가산이면 $A, B$의 카테시안 곱도 가산
- $A_{k}$ : 가산 $\Rightarrow \Pi_{k=1}^{n} A_{k}$ : 가산
- $A_{k}$가 가산이면 $A_{k}$의 카테시안곱도 가산
- 만일 $n$이 아니라 $\infty$까지 카테시안곱을 하면 가산이 안 된다.
- $\mathbb{Q} \sim \mathbb{N}$
- 유리수 집합은 자연수 집합과 대등하다
- $\mathbb{Q} = \{ {n \over m} | n, m \in \mathbb{Z} \} (m \neq 0)$
- 자연수가 실수보다는 작은데 유리수와는 대등하다. 신기함.
- (양의) 유리수를 ${n \over m}$ 으로 표현하면, 결국 $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ 형태로 대응 시킬 수 있다.
2
개념
- $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ 까지는 가산집합.
- 그런데 $\mathbb{R}$ℝ도 가산집합일까? 어디까지 가산집합일까? 이 문제가 한때 가장 어려운 문제 중 하나 였음.
- $(0, 1)$의 실수는 비가산. 이는 칸토어가 대각선 논법으로 증명 함.
- 0과 1 사이의 모든 소수를 나열해도 그 나열에 포함되지 않는 0보다 크고 1보다 작은 실수가 존재함. 다시 말해 나열할 수 없는 실수가 존재. 고로 0, 1사이의 실수는 가산집합이 아니다.
- $\mathbb{R}$ : 비가산
- $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ : 비가산
- 실수에서 유리수를 뺀 집합. 다시 말해 무리수 집합은 비가산이다.