Abstract

임의의 함수가 주어졌을 때 그 함수의 도함수를 구하는 것은 절대 쉽지 않다. 가장 간단한 다항식에서조차 컴퓨터가 임의의 다항식을 미분하도록 프로그램을 짜는 것은 매우 어려운 일이다. 하지만, dual number이라는 개념을 통해 임의의 다항식의 도함수를 구할 수 있다. 본래 이 개념은 대수기하학의 개념이나 본 글에서는 최소한의, 그리고 엄밀한 대수적인 개념을 통해 dual number를 정의하고 그로부터 다항식의 도함수를 어떻게 구할 수 있는 지를 살펴보도록 한다.

Introduction

[Definition] 어떤 집합 $G$위에 연산 $\cdot$이 주어졌다고 하자. 만약 $G$가 다음 조건을 만족하면 $G$를 group이라고 부른다.

1. For all $x,y\in G$, $x\cdot y\in G$
2. $\exist e\in G$ s.t. $x\cdot e=e\cdot x=x$ for $\forall x\in G$
3. For every $x\in G$, $\exist x^{-1}$ s.t. $x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=e$

즉, group은 어떤 연산에 대해서 항등원이 존재하고, 각 원소에 대해서 역원이 존재하는 집합을 말한다. Group의 예로는 $+$에 대한 $\Z$, 곱셈에 대한 $\R-\{0\}$, $+$에 대한 $2\times 2$행렬들의 집합 등이 있다.

[Definition] Group $G$가 $x\cdot y=y\cdot x$ for all $x,y\in G$를 만족하면 $G$를 commutative (abelian) group이라고 부른다.

[Definition] 어떤 집합 $R$에 연산 $+$와 연산 $\cdot$이 주어져 있고 다음 조건을 만족하면 $R$을 ring이라고 한다.

1. $R$은 $+$에 대해서 commutative group을 이룬다.
2. $r,s\in R$에 대해서 $r\cdot s\in R$이다.
3. $r,s,t\in R$에 대해서 $r\cdot(s+t)=rs+rt$이다.
4. $r,s,t\in R$에 대해서 $r\cdot(s\cdot t)=(r\cdot s)\cdot t$이다.

즉, ring은 덧셈과 곱셈이라는 연산이 주어져 잇고 곱셈이 덧셈보다 우선하는 규칙을 가진 집합을 말한다. Ring에서 덧셈은 commutative group을 이루므로 역원이 항상 존재하지만, 곱셈은 그저 닫혀있기만 하면 된다는 것에 유의하라. 심지어 1을 가질 필요도 없다. Ring의 예로는 덧셈과 곱셈이 주어진 $\Z$, 덧셈과 곱셈이 주어진 $n\times n$행렬들의 집합 등이 잇다.

[Definition] Ring $R$이 덧셈과 곱셈 모두에 대해서 commutative하면, ring $R$을 commutative ring이라고 부른다.

이제 dual number를 정의할 수 있게 되었다.

Dual number