https://youtu.be/iv0tMHund50

Diagonal

• 행렬 $D = [T]_{\beta}$가 Diagonal 하면
  • $T(v_{j}) = \lambda_{j} v_{j}$
• 역으로 순서기저 $\beta = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}$가 $T(v_{j}) = \lambda_{j}v_{j}$를 만족시키면
  • $[T]{\beta} = \left[ \begin{array}{rrrr} \lambda{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & ... & \\ & & & \lambda_{n} \end{array} \right]$

EigenVector, EigenValue

• 선형변환 $T : V \to V$에 대하여
  • 영이 아닌 벡터 $v \in V$가 $T(v) = \lambda v$를 만족할 때
    • $\lambda$를 eigenvalue라고 하고 $v$를 eigenvector라 한다.
• 행렬에서는 $Av = \lambda v$일 때, $v$를 $A$의 eigenvector라 한다. (eigenvector of $L_{A}$)

Thm 5.1

• 선형변환 $T : V \to V$에대하여
  • $T$의 eigenvector들로 이루어진 순서기저 $\beta$를 만들 수 있으면 $T$는 대각화가능이라고 한다.
  • (eigenvector로 $V$를 span하고 선형독립)
• $T$가 대각화가능이고, 대각행렬 $D$가 $D = [T]_{\beta}$일 때
  • $D_{jj}$는 eigenvalue가 된다.
• (예제1 생략 - 교재 참조)
• (예제2 생략 - 교재 참조 - 90도 회전하는 선형변환에서는 eigenvector와 eigenvalue가 없다)

Thm 5.2

• $A \in M_{n \times n}(F)$일 때
  • $\lambda$가 A의 eigenvalue이면
    • $det(A - \lambda I) = 0$
• 증명)
  • $\lambda$가 $A$의 eigenvalue이므로
    • $\Leftrightarrow Av = \lambda v$
    • $\Leftrightarrow (A - \lambda I)v = 0$
    • $\Leftrightarrow (A - \lambda I)$는 not invertible
    • $\Leftrightarrow det(A - \lambda I) = 0$
• 정의)
  • $A \in M_{n \times n}(F)$ 일 때
    • $f(t) = det(A - t I)$는 A의 characteristic polynomial(특성 다항식)이라 한다.
  • Ex)
    • $A = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{array} \right]$
    • $det(A - tI) = det \left[ \begin{array}{rr} 1 - t & 1 \\ 4 & 1 - t \end{array} \right] = t^{2} - 2t - 3 = (t-3)(t+1)$
    • eigenvalue는 $3, -1$
    • (eigenvalue는 위와 같이 계산할 수 있기 때문에 구하기 쉽다)

Similar matrices는 항상 같은 특성 다항식을 갖는다 ($B = Q^{-1}AQ$)

• 증명)
  • $Av = \lambda v$
    • $v = Qu$
    • $AQu = \lambda Q u$
    • $Q^{-1}AQu = \lambda u$
    • $Bu = \lambda u$
  • similar matrices의 경우에 eigenvalue는 같지만, eigenvector는 같지 않다.

정의

• 선형변환 $T : V \to V$에 대하여, $\beta$가 순서기저일 때
  • $A$의 특성 다항식 $T$ 는
    • $[T]_{\beta} = det(A - tI)$
  • 순서기저 $\beta$가 무엇이든간에 characteristic polynomial은 변하지 않는다.