(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)
1
개념
- 어떤 것의 수를 세는 것은 전단사 함수를 찾는 것과 같다.
- 자연수 집합에서 어떤 것에 해당하는 집합에 대응되는 것을 찾는 것.
- $A \sim B \Leftrightarrow \exists f = A \to B$
- $\sim$ 기호는 두 집합이 대등하다는 의미
- $A$에서 $B$로 가는 어떤 전단사 함수가 존재한다
- $\mathbb{N} \sim \mathbb{N}_{e}$ (자연수 집합과 짝수 집합은 대등하다)
- $\mathbb{N}{e}$는 짝수 집합 (홀수는 $\mathbb{N}{o}$)
- 짝수는 자연수의 완전 부분집합이지만 무한 집합이기 때문에 가능한 특징
- 같은 식으로 $(0, 1) \sim \mathbb{R}$도 성립
- (데데킨트의 정의) $X$ : 무한집합 $\Leftrightarrow Y \subset X, X \sim Y$
- $Y$가 $X$에 부분집합인데, $X$와 $Y$가 대등하면 $X$는 무한집합이다.
- $X$ : 유한집합 ⇔ $X$ : 무한집합이 아님
- $X$ : 무한 ⇔ $\exists$단사 $f : X \to X, f(x) \neq X$
- $X$ : 무한, $X \subseteq Y \Rightarrow Y$ : 무한
집합식
- $X \sim X$
- $X \sim Y \Rightarrow Y \sim X$
- $X \sim Y \wedge Y \sim Z \Rightarrow X \sim Z$
- $\exists f : X \sim Y, \exists g : Y \sim Z$ 일 때
- $X \sim A, Y \sim B$ 일때
- $X \cup Y \sim A \cup B (X \cap Y, A \cap B = \emptyset)$
2
개념
- $X$ : 무한, $X \sim Y \Rightarrow Y$ : 무한
- $X$ : 유한, $X \sim Y \Rightarrow Y$ : 유한
- $X$ : 무한, $x_{0} \in X \Rightarrow X \setminus \{ x_{0} \}$: 무한
- $\mathbb{N}{k}$ : 유한($\mathbb{N}{k} = \{ 1, 2, ... , k \}$