https://youtu.be/l1bU9PoAohY

Thm 5.3

• $A \in M_{n \times n}$ 일 때
  • $A$의 특성 다항식은 최고차항의 계수가 $(-1)^{n}$인 $n$차 다항식이다.
  • $A$ 는 최대 $n$개의 서로 다른 eigenvalue를 갖는다.
    • ($n$차이기 때문. 아예 없을 수도 있다.)

Thm 5.4

• $V$가 선형변환 $T$의 eigenvector이고 $\lambda$가 eigenvalue일 때
  • $v \neq 0$이고 $v \in N(T - \lambda I)$이다.
    • ($N(T)$는 널공간)
• 증명)
  • $T(v) = \lambda v = \lambda Iv (v \neq 0)$
  • $\Leftrightarrow (T - \lambda I)v = 0 (v \neq 0)$
  • $\Leftrightarrow v \in N (T - \lambda I) (v \neq 0)$
• (eigenvalue를 이용해서 eigenvector를 구하는 예제 생략)
• $Ax = \lambda x$이므로 $(A - \lambda I)x = 0$을 이용하여 eigenvector를 구한다.
• $\beta$가 eigenvector의 a basis consisting이라 할 때 $\beta$를 $Q$ 의 컬럼으로 쓰면
  • $QD = AQ \Leftrightarrow D = Q^{-1}AQ$
  • Ex)
    • $Q = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 2 & -2 \end{array} \right]$
    • $D = Q^{-1}AQ = \left[ \begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} \lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2} \end{array} \right]$

Decoupling by eigen-decomposition

• $D = Q^{-1}AQ = \left[ \begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} \lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2} \end{array} \right]$
• $\left[ \begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} y_{1} \\ y_{2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 3y_{1} \\ -y_{2} \end{array} \right]$
• 1st 컴포넌트의 output은 오로지 1st 컴포넌트의 input에 의해 결정된다.
  • (eigenvalue와 eigenvector를 이용하면 임의의 시스템을 decoupling 할 수 있다는 것)
• (선형변환에서 eigenvalue가 주어졌을 때, eigenvector 구하는 예제 생략)

Diagonalizability

• Thm 5.1에서 $T$가 diagonalizable ($T : V \to V$)
  • $\Leftrightarrow T$의 eigenvector의 ordered basis consisting가 존재한다.
  • ($T$가 대각화 가능하다는 것은 decoupling 가능하다는 것이 된다)
• Question)
  • eigenvector들을 찾았는데 이것이 basis가 되는가? 즉, $dim(V)$개를 찾았는가? 찾은 eigenvector들은 선형독립인가?

Thm 5.5

• 선형변환 $T : V \to V$에 대하여
  • $\lambda_{1}, \lambda_{2}, ... , \lambda_{k}$가 $T$의 distinct eigenvalue일 때
  • $v_{1}, v_{2}, ... , v_{k}$가 $T$ 의 eigenvector이면, $\{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{k} \}$는 선형독립이다.
    • $\lambda_{i}$는 $v_{i}$와 correspond ($i = 1, 2, ... , k$)
• 증명)
  • $k = 1$을 가정하고
  • $v_{1}$이 $v \neq 0$이고 eigenvector일 때 $\{ v_{1} \}$는 선형독립
  • Thm 5.5가 $k - 1$개의 distinct eigenvalue에 대해 성립한다고 가정
    • $a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} + ... + a_{k} v_{k} = 0$이라고 가정
  • $T - \lambda_{k} I$를 양변에 적용
    • $a_{1}(T - \lambda_{k} I) v_{1} + a_{2} (T - \lambda_{k} I) v_{2} + ... + a_{k} (T - \lambda_{k} I) v_{k} = 0$
    • $a_{1}(\lambda_{1} - \lambda_{k}) v_{1} + a_{2} (\lambda_{2} - \lambda_{k}) v_{2} + ... + a_{k} (\lambda_{k} - \lambda_{k}) v_{k} = 0$
  • Induction hypothesis에 의해
    • $a_{1}(\lambda_{1} - \lambda_{k}) = a_{2} (\lambda_{2} - \lambda_{k}) = ... = a_{k-1} (\lambda_{k-1} - \lambda_{k}) = 0$
    • $\lambda_{1}, \lambda_{2}, ... , \lambda_{k}$가 distinct이므로
    • $a_{1} = a_{2} = ... = a_{k-1} = 0$
    • 따라서 $a_{k} v_{k} = 0$, $v_{k}$는 nonzero vector, $a_{k} = 0$
    • 그러므로 독립이다.