(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)
개념
- 벡터의 점곱(Dot Product) - 좌표적 정의
- $\vec{u} \cdot \vec{v} = (u_{1} \cdot v_{1} + u_{2} \cdot v_{2} + u_{3} \cdot v_{3} + ... + u_{n} \cdot v_{n})$
- 벡터의 점곱(Dot Product) - 다른 정의
- $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\|\cos \theta$
- $\|\vec{u}\|$는 벡터의 크기
- $\theta$는 $\vec{u}$와 $\vec{v}$의 사이각
- 위 2가지 곱의 결과는 동치다
- 벡터의 크기 (norm)
- $\|\vec{u}\|$
- $= \sqrt{(u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + ... + u_{n}^{2})}$
- $= \sqrt{(u_{1} \cdot u_{1} + u_{2} \cdot u_{2} + ... + u_{n} \cdot u_{n})}$
- $= \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$
- 벡터의 크기는 각 항의 제곱을 더한 후 제곱근을 취하는 것
- 각 항을 제곱한 후 더한 것은 벡터의 Dot Product가 된다. 벡터의 크기는 벡터의 Dot Product를 한 후 제곱근을 취한 것
- 벡터간 거리
- 단위벡터 $\hat{u} = \frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}$
- 단위벡터란 벡터 A의 길이가 1이 되도록 축소한 것을 의미. (정규화 normalization이라고도 한다)
- 벡터를 벡터의 크기로 나눈 값
- $proj_{\vec{v}} \vec{u} = \|\vec{u}\| \cdot \cos \theta \hat{v}$
- ($\vec{v}$에 대한 $\vec{u}$의 프로젝션을 $proj_{\vec{v}} \vec{u}$이라 표기하고 그 값은 $\|\vec{u}\| \cdot \cos \theta \hat{v}$이 된다.)
- n차원 벡터는 n개의 방향이 서로 다른 벡터들의 합으로 나타낼 수 있다.
- $\vec{u} = (3, 4, 5), \vec{x} = (1, 0, 0), \vec{y} = (0, 1, 0), \vec{z} = (0, 0, 1)$이라고 할 때
- $\vec{u} = 3\vec{x} + 4\vec{y} + 5\vec{z}$와 같은식으로 나타낼 수 있음
- 이때의 x, y, z를 각각 $\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$라고 표시한다.
- 단위벡터는 좌표축들과 각도를 알면 $(\cos \theta_{1}, \cos \theta_{2}, ... , \cos \theta_{n})$으로 나타낼 수 있다.
벡터식
- $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
- $(\alpha \cdot \vec{a}) \cdot \vec{b} = \alpha \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b})$
- $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{a} \cdot \vec{c})$
- $\vec{a} \cdot \vec{b} \ge \vec{0}$
- $\|\alpha \cdot \vec{a}\| = |\alpha|\cdot \vec{a}$
- $\|\vec{a}\|^{2} = (\vec{a})^{2}$
- $\|\vec{a}-\vec{b}\|^{2} = (\vec{a})^{2} + (\vec{b})^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b}$
- $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b} (\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0})$