테일러급수 전개

(테일러 급수는 멱급수 --다항함수의 급수-- 의 한 형태)
(어떤 함수가 어떤 한 포인트에서 해석적이라는 것은 그 점에서 테일러급수가 수렴한다는 뜻)
- (해석적인 함수는 항상 그 함수에 대응되는 테일러급수 전개가 가능하다)

Def. [해석함수]

어떤 $\delta > 0$에 대하여 $(c - \delta, c + \delta)$에서 함수 $f$가 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$이면 $f$는 $x = c$에서 해석적이라 한다.

또한 함수 $f$가 열린구간 $I$의 모든 점에서 해석적이면 $f$를 $I$에서의 해석함수라 한다.

Thm. [테일러급수 전개]

함수 $f$가 구간 $I$에서 해석함수이면 무한 번 미분가능하고 임의의 $c \in I$에 대하여 구간 $(c -\delta, c + \delta)$에서

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} {f^{(n)}(c) \over n!}(x - c)^{n}$

을 만족시키는 $\delta > 0$이 존재한다. 이때 우변의 멱급수를 해석함수 $f$의 테일러급수라 하고, 특히 $c = 0$ 인 경우에는 매클로린급수라 한다.

(멱급수에서 $a_{n} = {f^{(n)}(c) \over n!}$ 형태로 정의한 것이 테일러급수. 함수가 해석적이라면 위와 같이 a_{n}을 변환할 수 있다는 뜻)
(함수 $f$가 해석적이면 $f$는 무한번 미분 가능. 그러나 $f$가 무한번 미분 가능하다고 해서 $f$가 해석적인 것은 아님)

해석함수와 연산

${1 \over x} = 1 + (1-x) + (1-x)^{2} + ... = \sum_{n=0}^{\infty}(1-x)^{n}, (0 < x < 2)$

$\sqrt{x} = 1 - {1-x \over 2} - {(1-x)^{2} \over 8} - {(1-3)^{3} \over 16} - ... (0 < x < 2)$

참고) $y = {1 \over x}$와 $y = \sum_{k=0}^{n} (1-x)^{k}$의 그래프 비교