(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)
개념
- 벡터의 정의 1: n개의 성분으로 나타낼 수 있는 양
- $\vec{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3}, ... , u_{n})$
- $\vec{u} = \vec{v} \Leftrightarrow \forall i, u_{i} = v_{i}$
- $\vec{u} + \vec{v} = (u_{1} + v_{1}, u_{2} + v_{2}, ... , u_{n} + v_{n})$
- $\alpha \cdot \vec{u} = (\alpha \cdot u_{1}, \alpha \cdot u_{2}, ... , \alpha \cdot u_{n})$
- 벡터의 정의 2: 크기와 방향을 가진 양 (물리학에서 사용하는 정의)
- 유향 선분 $\vec{ab}$ 로 벡터를 나타낼 수 있다.
- 크기는 선분의 길이, 방향은 선분의 방향 (크기가 0이면 방향은 고려 안 함)
- $\vec{ab} = \vec{cd} \Leftrightarrow$ 두 선분의 길이가 같고 두 선분의 방향이 같다
- $\vec{ab} + \vec{cd} = \vec{ae} (\vec{cd} = \vec{be})$
- $c \cdot \vec{ab}$ : 방향은 그대로 길이만 늘린 것
- 위 2가지 정의는 동치다.
- AB의 시작점을 원점 O로 옮겼을 때 OP = AB인 벡터로 나타낼 수 있다. 이때 P의 좌표로 벡터 AB를 유일하게 결정할 수 있다.
- $\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow \vec{oa} = \vec{ob}$
- $c \cdot \vec{a} \Leftrightarrow c \cdot \vec{oa}$
벡터식
- $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$
- $\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$
- $\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$
- $\vec{u} + (-1 \cdot \vec{u}) = \vec{0}$
- $\alpha \cdot (\beta \cdot \vec{u}) = \beta \cdot (\alpha \cdot \vec{u})$
- $1 \cdot \vec{u} = \vec{u}$
- $(\alpha + \beta) \cdot \vec{u} = \alpha \cdot \vec{u} + \beta \cdot \vec{u}$
- $\alpha \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \alpha \cdot \vec{u} + \alpha \cdot \vec{v}$
- $\vec{0} \cdot \vec{u} = \vec{0}$
- $\alpha \cdot \vec{0} = \vec{0}$
- $\alpha \cdot \vec{u} = \vec{0} \Leftrightarrow \alpha = 0 \vee \vec{u} = \vec{0}$
- $\vec{u} = \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} + \vec{w} = \vec{v} + \vec{w}$
- $\vec{u} = \vec{v} \Leftrightarrow \alpha \cdot \vec{u} = \alpha \cdot \vec{v}$