https://youtu.be/pckTu8gLVZo

함수

함수의 정의

• 함수: 다음을 만족하는 X에서 Y로의 관계 $f : X \to Y$
  • $\forall x \in X, \exists y \in Y, s.t. (x, y) \in f$
    • $(x, y) \in f$ 는 $y = f(x)$라고도 쓴다.
    • s.t.는 such that의 약자. 그러한 것을 만족 시키는
  • $(x, y_{1}) \in f \wedge (x, y_{2}) \in f \Rightarrow y_{1} = y_{2}$
  • ex) X = { 1, 2, 3 }, Y = { a, b, c } 일 때
    • f1 = { (1, a), (1, b), (2, b), (3, c) }
      • f1은 함수가 아니다 (1, a), (1, b) 때문
    • f2 = { (1, a), (2, b) }
      • f2는 함수가 아니다. X의 3에 대응되는 순서쌍이 없기 때문.
    • f3 = { (1, a), (2, a), (3, b) }
      • f3는 함수다. Y의 c가 없지만 이것은 함수의 정의에 부합한다.
• 함수 $f : X \to Y$에서 $y = f(x)$ 일 때 다음과 같이 부른다.
  • y를 f에 의한 x의 상 (Image)
  • x를 f에 의한 y의 원상 (Pre-Image)
  • X를 f의 정의역 Dom(f) (Domain)
  • Y를 f의 공역 (Co-Domain)
  • $\{ f(x) | x \in X \} = f(X)$ 를 f의 치역 Rng(f) (Range)
  • ex) 위 예제의 f3의 경우
    • Dom(f3) = { 1, 2, 3 }
    • Rng(f3) = { a, b }
    • 1의 상 = a
    • a의 원상 = { 1, 2 }
• 함수식이 같아도 정의역이 다르면 다른 함수다.
  • ex) $\begin{cases} f(x) = x^{2} & Dom(f) = \mathbb{R} \\ g(x) = x^{2} & Dom(g) = \mathbb{C} \end{cases} \Rightarrow f \neq g$
• 함수 $f : X \to Y$ 에 대하여 $A \subset X$ 일 때
  • $f |_{A}$ 는 X를 A로 축소한 함수
    • $\{ (x, y) \in f | x \in A \}$
  • $g f |_{A}$ 이면 f는 g의 A에서의 확대함수
  • ex) A = { 1, 2 }, B = { 1, 2, 3 }, Y = { a, b, c } 일 때
    • $\begin{cases} f(x) = \{ (1, a), (2, b), (3, c) \} & f : B \to Y, Dom(f) =B \\ g(x) = \{ (1, a), (2, b) \} & g : A \to Y, Dom(g) = A \end{cases}$
    • $\Rightarrow g = f |_{A}$
    • f를 축소하면 g가 되고, g를 확대하면 f가 된다.

함수의 성질

• 함수 $f : X \to Y$ 에 대하여
  • 전사 (Onto)
    • $Rng(f) = Y$
    • 공역에 있는 모든 원소가 화살을 받은 상태
  • 단사 (Into)
    • $x_{1} \neq x_{2} \in X \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2})$
    • 공역에 있는 모든 원소가 화살을 하나씩만 받은 상태
  • 전단사: 전사이고 단사인 함수. 일대일 대응

여러가지 함수

• 고등학교 교육과정 내
  • 항등함수
    • $\forall x \in X, I_{X}(x) = x$
    • x를 넣으면 x가 그대로 나오는 함수. 정의역이 공역이면서 치역이 된다.
  • 상등함수
    • $\exists y_{0} \in Y, f(X) = y_{0}$
    • 어떤 값을 넣어도 어떤 상수가 나옴.
  • 역함수
    • 전단사인 $f : X \to Y$ 에 대하여 $f^{-1} : Y \to X$
    • 역함수가 가능하려면 전단사 함수여야 함.
  • 합성함수
    • 두 함수 $f : X \to Y, f : Y \to Z$ 와 $\forall x \in X, (g \circ f)(x) = g(f(x))$
  • 합성함수의 성질
    • $g \circ f \neq f \circ g$
    • $(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)$
    • $f^{-1} \circ f = I_{x}$
    • $f \circ f^{-1} = I_{y}$
    • $f, g$ 가 모두 단사면 $g \circ f$는 단사
    • $f, g$가 모두 전사면 $g \circ f$는 전사
• 고등학교 교육과정 외 (집합 $A(\neq \emptyset)$ 가 $A \subset X$ 일 때)
  • 포함함수
    • $\forall x \in A, i : A \to X$ 가 $i(x) = x (\in A)$
    • 항등함수의 축소된 함수
  • 특성함수 (지시 함수)
    • $\forall x \in X, \chi_{A} : X \to \{ 0, 1 \}$가 $\chi_{A} (x) = \begin{cases} 1 & x \in A \\ 0 & x \notin A \end{cases}$
    • 어떤 특정 집합을 두고, 이 특정 집합에 내가 원하는 값이 포함 되었는지 안 되었는지를 지시하는 함수
  • 선택함수
    • 집합 $X(\neq \emptyset)$의 부분집합들의 집합족을 $\{ A_{i} \}$ 이라 할 때 모든 $i \in I$에 대하여 $f(A_{i}) \in A_{i}$ 로 정의되는 함수 $f : \{ A_{i} \} \to X$
    • ex) X = { 1, 2, 3, 4, 5 }, A1 = { 1, 2, 3 }, A2 = { 2, 3, 4 }, A3 = { 4, 5 } 일 때
      • 함수 f가 A1, A2, A3을 정의역으로 가지고 그 치역이 각각 2, 4, 5일 경우 이 함수 f는 선택 함수가 된다. A1에 2가 포함되어 있고, A2에 4가 포함되어 있고, A3에 5가 포함되어 있기 때문.
      • 반면 함수 g가 A1, A2, A3을 정의역으로 가지고 그 치역이 각각 1, 2, 3일 경우 이 함수 g는 선택 함수가 아니다. A1에 1가 포함되어 있고, A2에 2가 포함되어 있지만, A3에 3가 포함되어 있지 않기 때문.

여러가지 정리

• 함수 $f$ 에 대하여 역함수 $f^{-1}$가 존재하면 $f$ 는 전단사이다.
• 합성함수 $g \circ f$ 가 단사이면 $f$ 는 단사이고, $g \circ f$ 가 전사이면 $g$는 전사이다.
• 정수집합 $\mathbb{Z}$ 과 자연수집합 $\mathbb{N}$ 사이에는 일대일 대응이 존재한다.
  • (증명) $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{N}$ 를 다음과 같이 정의한다.
    • $f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & x \geq 0 \\ -2x & x < 0 \end{cases}$
    • f는 단사임을 증명
      • case1) $f(x_{1}) = f(x_{2}) \Rightarrow 2x_{1} + 1 = 2x_{2} + 1 \Rightarrow x_{1} = x_{2}$
      • case2) $f(x_{1}) = f(x_{2}) \Rightarrow -2x_{1} = -2x_{2} \Rightarrow x_{1} = x_{2}$
    • f는 전사임을 증명
      • 양의 짝수집합을 $\mathbb{N}{e}$ 양의 홀수집합을 $\mathbb{N}{o}$ 라고 정의
      • case1) $\forall 2n+1 \in \mathbb{N}_{o}, \exists n \in \mathbb{Z}, s.t f(n) = 2n + 1$
      • case2) $\forall -2m \in \mathbb{N}_{e}, \exists m \in \mathbb{Z}, s.t f(m) = -2m$
    • 따라서 f는 전단사 함수이고 고로 일대일 대응이 된다.

집합의 함수

개념과 정의

• 함수 $f : X \to Y$ 에서 $A \subset X$ 이고 $B \subset Y$ 일 때 다음이 성립한다.
  • f에 대한 A의 상
    • $f(A) = \{ f(x) \in Y | x \in A \}$
  • f에 대한 B의 역상
    • $f^{-1}(B) = \{ x \in X | f(x) \in B \} \subset X$
  • ex) $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 가 $f(x) = x^{2}$ 라 할때
    • 집합 A를 { -1, 0, 1, 2 } 라고 하면 집합에 대한 함수는 $f(A) = \{ 0, 1, 4 \}$ 가 된다. (각각의 원소를 함수에 대입)
    • 집합 B를 { 0, 1, 4 } 라고 할 때 B의 역상은 $f^{-1}(B) = \{ -2, -1, 0, 1, 2 \}$ 가 된다.
    • 여기서 집합 B는 A의 상인데, B의 역상을 구하면 원래 집합 A보다 큰 집합이 된다.
    • 집합 A의 상은 일반적으로 집합 A의 크기보다 줄어들게 된다. (단사가 되면 동일), 반면 집합 A의 역상에 대한 상은 일반적으로 집합 A의 크기보다 커지게 된다. (전사가 되면 동일)

여러가지 정리