(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)
개념
- 전치행렬
- 대각합
- $A = (a_{ij}) \in m_{n, n}$
- $tr(A) = \sum_{x=1}^{n} a_{xx}$
- 가역행렬
- 가역행렬이란 역행렬을 가지는 행렬
- $A$: 가역
- $\Leftrightarrow \exists B, BA = AB = I$
- 이때 B를 A의 역행렬이라 부른다.
- 역행렬
- $A$의 역행렬은 $A^{-1}$로 표기
- $A$의 역행렬은 유일하다.
- $A = \left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right)$일 때,
- $A^{-1} = {1 \over ad - bc} \left( \begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \end{array} \right)$
- 가역행렬과 역행렬은 정사각행렬에서만 정의 가능.
- $AB = 0$ 이어도 $BA = 0$이 안 될 수 있다.
- $A = \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right), B = \left( \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$일 때 성립 안 함.
- $O(n) = \{ A \in M_{n, n}(\mathbb{R}) | A^{-1} = A^{T} \}$ 일 때, (역행렬과 전치행렬이 같은 행렬들의 집합. 직교행렬이라고도 한다)
- $I_{n} = O(n)$
- $A, B \in O(n) \Rightarrow AB \in O(n)$
- $A \in O(n) \Rightarrow A^{-1} \in O(n)$
- $A \in O(n) \Rightarrow A^{T} \in O(n)$
행렬식
- $(A^{T})^{T} = A$
- $(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}$
- $(cA)^{T} = cA^{T}$
- $(AB)^{T} = B^{T}A^{T}$
- $tr(A+B) = tr(A) + tr(B)$
- $tr(cA) = c \cdot tr(A)$
- $tr(A^{T}) = tr(A)$
- $tr(AB) = tr(BA)$
- $I^{-1} = I$
- $(cA)^{-1} = {1 \over c} A^{-1}$