(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)
개념
- 미분의 기본 개념. $f(x)$가 $x_{0}$에서 미분가능하다.
- $\Leftrightarrow \lim_{h \to 0} {f(x_{0}+h) - f(x_{0}) \over h}$가 존재
- $\Leftrightarrow \exists a \in \mathbb{R}, \lim_{x \to x_{0}} {f(x) - f(x_{0}) \over x - x_{0}} = a$
- $\Leftrightarrow \exists a \in \mathbb{R}, \lim_{x \to x_{0}} {f(x) - f(x_{0}) - a(x -x_{0}) \over x - x_{0}} = 0$
- $\Leftrightarrow \exists a \in \mathbb{R}, \exists \epsilon : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \lim_{x \to x_{0}} \epsilon (x) = 0, {f(x) - f(x_{0}) - a(x -x_{0}) \over x - x_{0}} = \epsilon (x)$
- $\Leftrightarrow \exists a \in \mathbb{R}, \exists \epsilon : \mathbb{R} \to \mathbb{R} (\lim_{x \to x_{0}} \epsilon (x) = 0), f(x) = f(x_{0}) + a(x -x_{0}) + \epsilon (x)(x - x_{0})$
- 여기까지 유도된 형식은 다변수를 다루기가 좋다.
- $x_{0}$에 아주 가까워지면 $f(x)$가 일차식처럼 보인다.
- $a(x - x_{0})$와 $\epsilon (x) (x - x_{0})$모두 0에 가까워지는데, $a(x - x_{0})$는 1차식으로 0에 가까워지는 반면, $\epsilon (x) (x - x_{0})$은 훨씬 빠른 속도로 0에 가까워진다.
- $f(\vec{x}) : \vec{p}$에서 미분가능
- $\Leftrightarrow \exists a_{1}, a_{2}, ... a_{n} \in \mathbb{R}, \exists \epsilon : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} (\lim_{\vec{x} \to\vec{p}} \epsilon (\vec{x}) = 0), f(\vec{x}) = f(\vec{p}) + a_{1}(x_{1} - p_{1}) + a_{2}(x_{2} - p_{2}) + ... + a_{n}(x_{n} - p_{n}) + \epsilon(\vec{x}) \|\vec{x} - \vec{p}\|$
- $f(\vec{x}) : \vec{p}$ 에서 미분가능 $\Rightarrow f(\vec{x}) : \vec{p}$ 에서 연속
- $f(\vec{x}) : \vec{p}$ 에서 미분가능 $\Rightarrow f(\vec{x}) : \vec{p}$ 에서 일차식으로 근사시킬 때, 그때 일차항의 계수 $a_{1}, a_{2}, ... a_{n}$ 들은 ${\partial f \over \partial x_{1}} |{(\vec{p})}, {\partial f \over \partial x{2}} |{(\vec{p})}, ... {\partial f \over \partial x{n}} |_{(\vec{p})}$ 의 값이다.
- | 는 대입기호. $f |_{x}$는 함수 f에 x를 대입한다는 뜻.
- $f(\vec{x})$의 모든 편미분이 존재하고, 모두연속이면 $\Rightarrow f(\vec{x})$는 미분 가능
- (결국 전미분은 각 변수에 대해 편미분 한 것들을 다 더하면 된다.)