(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)
개념
- 행렬의 정의
- 행렬이란 벡터공간 위에 있는 선형 함수
- 행렬이란 숫자들의 2차원 배열
- $i = 1, 2, ... , m, j = 1, 2, ... , n, a_{ij} \in \mathbb{F}$ 일 때
- $A = \left( \begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{array} \right)$ 를 $\mathbb{F}$위의 $m \times n$ 행렬이라 한다.
- 행렬 표기법
- $A = a_{ij}$
- $M_{m, n}(\mathbb{F})$ : $\mathbb{F}$위의 모든 $m \times n$ 행렬의 집합
- $[A]_{i}$: A의 i번째 행 ($1 \times n$ 벡터)
- $[A]^{j}$: A의 j번째 열 ($m \times 1$ 벡터)
- $A = (a_{ij}), B = (b_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb{F})$일 때
- $A = B \Leftrightarrow \forall_{i,j}, a_{ij} = b_{ij}$
- $A + B := (a_{ij} + b_{ij})$
- $c A := (c \cdot a_{ij})$
- $A = (a_{ij}) \in M_{m, n}, B = (b_{ij}) \in M_{n, l}$ 일 때
- $AB := (\sum_{x=1}^{n} a_{ix} b_{xj}) \in M_{m, l}$
- $ab_{ij} = [A]_{i} \cdot [B]^{j}$
- $0_{m, n} = (0)$
- $I_{n} = (\delta_{ij})$
- $\delta_{ij} \Rightarrow 1 (i = j), 0 (i \neq j)$
- $A = \left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right)$
- $\Rightarrow A^{2} - (a + d) A + (ad -bc) I = 0$
행렬식
- $A, B$ 행렬, $r, s \in \mathbb{F}$
- $A + B = B + A$
- $A + (B + C) = (A + B) + C$
- $A + 0 = A$
- $A + (-A) = 0$
- $(r + s)A = rA + sA$
- $r(A + B) = rA + rB$
- $r(sA) = (rs)A$
- $(AB)C = A(BC)$
- $AI = IA = A$
- $(A + B)C = AC + BC$
- $r(A)B = r(AB) = A(rB)$
- $A^{n} := A \cdot A^{n-1}$
- $A^{0} = I$