(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)
개념
- 벡터장 $\vec{F} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$, 곡선 $C \subseteq \mathbb{R}^{n}$ ($C$ : 조각적으로 미분가능, $\vec{F}$: 연속)
- 선 C가 조각적으로 미분가능이므로 선 C 위에 있는 점을 $\vec{x}{1}, \vec{x}{2}, ... , \vec{x}{n}$ 으로 분할 하면 i번째 조각은 $\vec{x}{i} - \vec{x}_{i-1}$이 되고,
- 이때 이 조각을 이동하는데 받은 일의 양은 $\vec{F}(\vec{x}{i}) \cdot (\vec{x}{i} - \vec{x}_{i-1})$ 가 된다.
- 그러므로 C를 이동하면서 받은 총 일의 양은 $\sum_{i = 1}^{n} \vec{F}(\vec{x}{i}) \cdot (\vec{x}{i} - \vec{x}_{i-1})$ 이다.
- 조각들의 길이가 0이 되도록 분할하면 $\int_{\vec{x} \in C} \vec{F}(\vec{x}) \cdot d \vec{x}$ 가 된다.
- $C : \vec{\alpha}(t), a \leq t \leq b$ 로 매개화 된 경우, C를 $\vec{\alpha}(t_{0}), \vec{\alpha}(t_{1}), ... , \vec{\alpha}(t_{n})$ 로 분할
- $\sum_{i=1}^{n} \vec{F}(\vec{\alpha}(t_{i})) \cdot (\vec{\alpha}(t_{i}) - \vec{\alpha}(t_{i-1}))$
- $= \sum_{i=1}^{n} \vec{F}(\vec{\alpha}(t_{i})) \cdot ({\vec{\alpha}(t_{i}) - \vec{\alpha}(t_{i-1}) \over (t_{i} - t_{i-1})} (t_{i} - t_{i-1}))$
- $= \int_{a}^{b} \vec{F}(\vec{\alpha}(t)) \cdot \dot{\vec{\alpha}}(t) dt$