(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)
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개념
수식은 연산과 관계로 표현 됨.
$a + b = c$ 에서 ‘$+$’는 연산 ‘$=$’ 은 관계
관계와 함수는 순서쌍의 집합
관계 $R$, 집합 $A, B$에 대하여 관계식은 아래와 같이 쓴다.
$R: A \to B$
$A = \{ a_{1}, a_{2}, a_{3} \}, B = \{ b_{1}, b_{2}, b_{3} \}$
$R: \{ (a_{1}, b_{2}), (a_{3}, b_{1}), (a_{3}, b_{3}) \}$
두 집합 $A, B$가 있고 어떤 $A$에서 $B$로 가는 어떤 관계 조건을 만족하는 순서쌍의 집합을 $R$이라고 이해하면 된다.
위 상황에서는 그 조건에 만족하는 순서쌍이 $(a_{1}, b_{2}), (a_{3}, b_{1}), (a_{3}, b_{3})$이라는 것.
관계를 $R$로 표시하고 아래와 같은 집합에서 철수와 영희가 배우자 관계일 때 다음과 같이 한다.
집합 $A$ = { 철수, 영희, 진수 }
$R_{\text{배우자}}$ = { (철수, 영희), (영희, 철수) }
배우자
위의 관계는 특히 대칭인 관계인데, (철수, 영희), (영희, 철수)가 존재하기 때문
일반적인 관계 $R$에서 $
{a}R
{b}$와 $
{b}R
{a}$가 성립하면 대칭인 관계라고 한다.
역관계
어떤 관계 $R$에 대하여 순서쌍을 거꾸로 쓴 집합. 역함수와 같다. $R^{-1}$
$R$에 대하여 $R^{-1} := \{ (y, x) | (x, y) \in R \}$
정의역 (Domain)
$Dom(R) = \{ a | (a, b) \in R \}$
치역 (Image)
$Im(R) = \{ b | (a, b) \in R \}$
다음과 같은 상황에서 정의역과 치역은 다음과 같다.
$R : A \to B$
$A = \{ a_{1}, a_{2}, a_{3} \}, B = \{ b_{1}, b_{2}, b_{3} \}$
$R = \{ (a_{1}, b_{2}), (a_{3}, b_{1}), (a_{3}, b_{3}) \}$
$Domain(R) = \{ a_{1}, a_{3} \}$
$Im(R) = \{ b_{1}, b_{2}, b_{3} \}$
동치관계
아래 조건을 모두 만족하는 관계를 동치관계라 부른다.
$\epsilon : X \to X$
$\forall x \in X, x \epsilon x$ (반사율)
$x \epsilon y \Rightarrow y \epsilon x$ (대칭율)
$x \epsilon y \wedge y \epsilon z \Rightarrow x \epsilon z$ (추이율)
닮음도 동치관계
동치류, 상집합(Quotient Set)
$\epsilon : X \to X, x \epsilon X$ 일 때
$x / \epsilon = \{ a | a \epsilon x \}$ 인 것을 동치류라고 한다.
$X / \epsilon = \{ x / \epsilon | x \in X \}$ 인 것을 상집합이라고 한다. (동치류를 모아 놓은 집합)
다음과 같은 조건이 있다고 할 때
$X = \{ a, b, c, d, e, f \}$
$a, b, f$는 11살
$c$는 12살
$d, e$ 는 13살
$\epsilon : X \to X, a \epsilon b :=$ $a$와 $b$는 동갑이다.
동치류는 다음과 같다.
$a / \epsilon = \{ a, b, f \}$
$b / \epsilon = \{ a, b, f \}$
$c / \epsilon = \{ c \}$
$d / \epsilon = \{ d, e \}$
$e / \epsilon = \{ d, e \}$
$f / \epsilon = \{ a, b, f \}$
상집합은 다음과 같다.
$X / \epsilon = \{ \{a, b, f\}, \{c\}, \{d, e\} \}$
관계식
$Dom(R^{-1}) = Im(R)$
역관계의 정의역은 원래 관계의 치역과 같다.
$Im(R^{-1}) = Dom(R)$
역관계의 치역은 원래 관계의 정의역과 같다.
$x / \epsilon \neq \emptyset, x / \epsilon \subseteq X$
(반사율) 자기 자신이 동치이기 때문에, 동치인 집합이 공집합일 수는 없다.
$x \epsilon y \Leftrightarrow x / \epsilon \cap y / \epsilon \neq \emptyset$
$x, y$가 동치관계일 때 $x$의 동치류와 $y$의 동치류의 교집합은 공집합이 아니다.
$x \epsilon y \Leftrightarrow x / \epsilon = y / \epsilon$
$x, y$가 동치관계일 때 $x$의 동치류와 $y$의 동치류는 같다.