(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)
함수의 극한
무한소와 극한
- 무한소란 '무한히 작은 수'를 일컫는 직관적인 개념으로 고전적으로 미적분을 설명하기 위해 쓰였다.
- 아르키메데스가 최초로 정립함. 이를 뉴턴과 라이프니츠가 이용해서 미적분학을 정립
- 무한소는 미적분을 설명하는 도구이지만, 극한을 설명하는 동구는 아니다.
- 실수체에는 무한소가 존재하지 않으며 $\epsilon-\delta$ 논법으로 정의된 극한으로써 미적분을 설명한다.
- 예전에는 무한소를 이용해서 미적분을 설명했지만 $\epsilon-\delta$ 논법이 등장한 이후 극한으로 미적분을 설명함으로써 무한소는 수학계에서 사용되지 않음
- 초실수체에서는 무한소로써 미적분을 설명 가능하다. (비표준 해석학)
- 초실수체는 무한소를 공리로 받아들임. 초실수체는 순서체일 뿐 완비순서체가 아님. 조밀성이 성립하지 않음.
- 비표준 해석학에서는 미적분을 무한소로 정의할 뿐. 극한으로 설명하지는 않는다. 무한소와 극한은 양립 불가능한 개념
극한의 정의
Def 1. [수렴과 극한(값)]
$f : D \to \mathbb{R}, a \in D, L \in \mathbb{R}$라 하자
$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forall x \in D, 0 < \| x - a \| < \delta \Rightarrow \|f(x) - L \| < \epsilon$
이 성립하면 $f$는 $x = a$에서 극한(값) $L$로 수렴한다고 하고 $\lim_{x \to a} f(x) = L$로 표기한다.
수렴하지 않는 경우엔 발산한다고 한다.
- $\| x - a \|$가 0이 되어버리면 $f(a)$가 되어버리기 때문에 $\| x - a \|$는 극한을 정의하기 위해서는 반드시 0보다 커야 함.
- $\forall \epsilon > 0$에 대하여 $\| f(x) - L \| < \epsilon$가 성립하려면 $\| f(x) - L \|$는 0이 되어야 한다.
- 고로 극한값 $L$은 $f(a)$의 값과 완전히 동일한다. $L$ 이 $f(a)$에 다가가는 것이 아니다. 둘은 완전히 같다.
Def 2. [우극한과 좌극한]
$f : D \to \mathbb{R}, a \in D, L \in \mathbb{R}$라 하자
$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forall x \in D, 0 < x - a < \delta \Rightarrow \|f(x) - L \| < \epsilon$
이 성립하면 $f$는 $x=a$에서 우극한 $L$을 갖는다고 하고 $\lim_{x \to a^{+}} f(x) = f(a{+}) = L$로 표기한다.