(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

개념

• 다변수 벡터함수 $\vec{F}(\vec{x})$에 대하여
  • 점 $\vec{x}$에서 다이버전스: $\vec{\nabla} \cdot \vec{F}(\vec{x})$ ($\mathbb{R}^{n}$에서 정의)
  • 점 $\vec{x}$에서 커얼: $\vec{\nabla} \times \vec{F}(\vec{x})$ ($\mathbb{R}^{3}$에서 정의)

다이버전스, 커얼식

• $\nabla \cdot (F+G) = \nabla \cdot F + \nabla \cdot G$
• $\nabla \cdot (\alpha F) = \alpha (\nabla \cdot F)$ ($\alpha$는 스칼라)
• $\nabla \cdot (f F) = f (\nabla \cdot F) + \nabla f \cdot F$ ($f$는 다변수 실함수)
• $\nabla \times (F+G) = \nabla \times F + \nabla \times G$
• $\nabla \times (\alpha F) = \alpha (\nabla \times F)$ ($\alpha$는 스칼라)
• $\nabla \times (f F) = f (\nabla \times F) + \nabla f \times F$ ($f$는 다변수 실함수)
• $\nabla \cdot (F \times G) = (\nabla \times F) \cdot G - F \cdot (\nabla \times G)$
• $\nabla \times (F \times G) = (\nabla \cdot G) F + (\nabla F \cdot G) - F \cdot \nabla G - (\nabla \cdot F) G$
• $\nabla \cdot (\nabla \times F) = 0$
• $\nabla \times (\nabla f) = \vec{0}$
• $(\nabla \cdot \nabla) f = \nabla \cdot (\nabla f)$ ($f$의 라플라시안 $\nabla^{2} f$)
• $(\nabla \cdot \nabla) \vec{F} = \nabla^{2} \vec{F}$ ($F$의 라플라시안)
• $\nabla \times (\nabla \times F) = \nabla \cdot (\nabla \vec{F}) - \nabla^{2} \vec{F}$