https://youtu.be/kYqHl6xFZuQ

미분계수

미분계수의 정의

Def 1. [평균변화율]

함수 $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ 에 대하여

${\Delta y \over \Delta x} = {f(b) - f(a) \over b - a} = {f(a + \Delta x) - f(a) \over \Delta x}$

를 $a$에서 $b$로 변할 때의 함수 $y = f(x)$의 평균 변화율이라 한다.

Def 2. [미분계수와 미분가능]

함수 $f : (a, b) \to \mathbb{R}$와 $c \in (a, b)$에 대해

$f'(c) = \lim_{\Delta x \to 0} {\Delta y \over \Delta x} \\ = \lim_{x \to c} {f(x) - f(c) \over x - c} \\ = \lim_{\Delta x \to 0} {f(c + \Delta x) - f(c) \over \Delta x}$

를 $x = c$ 에서의 함수 $y = f(x)$ 의 미분계수라 하며, 미분계수가 존재하면 $f$가 $x = c$ 에서 미분가능하다고 한다.

• 미분계수란 순간변화율
• 순간의 변화율을 보기 위해 극한을 이용한다.
• 순간변화율은 접선의 기울기와 동일하다는 것은 그래프로 표현 가능할 때 가능한 표현이지만, 실제 수학에서는 그래프로 표현 불가능한 부분이 있고, 그런 부분에서도 미분이 가능한 경우가 존재하기 때문에 엄밀히 말해서 미분계수를 접선의 기울기라고 보기는 어렵다.

Def 3. [우미분계수와 좌미분계수]

• 함수 $f : [a, b) \to \mathbb{R}$ 에 대하여 $f$의 $x = a$에서의 우미분계수
  • $f'+(a) = \lim_{\Delta x \to 0+} {f(a + \Delta x) - f(a) \over \Delta x}$
  • 가 존재하면 $f$는 $x = a$에서 우미분가능하다고 한다.
• 함수 $f : (a, b] \to \mathbb{R}$ 에 대하여 $f$의 $x = b$에서의 우미분계수
  • $f'-(b) = \lim_{\Delta x \to 0-} {f(b + \Delta x) - f(b) \over \Delta x}$
  • 가 존재하면 $f$는 $x = b$에서 좌미분가능하다고 한다.

Def 4. [미분가능함수]

• 함수 $f : (a, b) \to \mathbb{R}$ 가 $(a, b)$ 의 모든 점에서 미분가능하면 $f$를 $(a, b)$에서 미분가능 함수라고 한다.
• 함수 $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ 가 다음 조건들을 만족하면 $f$를 $[a, b]$ 에서의 미분가능 함수라고 한다.
  • $f$는 $(a, b)$ 에서의 미분가능함수이다.
  • $f$는 $x = a$ 에서 우미분가능하다
  • $f$는 $x = b$에서 좌미분가능하다.