$T_{0}, T_{1}, T_{2}$ 공간

정의

대표적인 위상적 불변량인 분리공리들을 알아본다.
- 모든 위상공간은 밀착위상공간에서부터 이산위상공간 사이에 스펙트럼처럼 존재한다.
- 밀착위상공간의 열린집합은 공집합이거나 자기 자신만 가능

Def 1. [$T_{0}$]

$(X, \mathfrak{I})$가 위상공간이라 하자.

$\forall x, y \in X, \exists U \in \mathfrak{I} : (x \in U \wedge y \notin U) \vee (x \notin U \wedge y \in U)$

을 만족하면 $X$가 $T_{0}$라 한다. (단 $x \neq y$)

Def 2. [$T_{1}$]

$(X, \mathfrak{I})$가 위상공간이라 하자.

$\forall x, y \in X, \exists U, V \in \mathfrak{I} : (x \in U \wedge y \notin U) \wedge (x \notin V \wedge y \in V)$

을 만족하면 $X$가 $T_{1}$라 한다. (단 $x \neq y$)

Def 3. [$T_{2}$(하우스도르프)]

$(X, \mathfrak{I})$가 위상공간이라 하자.

$\forall x, y \in X, \exists U, V \in \mathfrak{I} : x \in U \wedge y \in V \wedge U \cap V = \emptyset$