(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)
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개념
- $f$: 단사 $\Leftrightarrow ( f(x_{1}) = f(x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2})$
- $(x_{1} \neq x_{2} \rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2}))$
- $f$ : 전사 $\Leftrightarrow f(X) = Y$
- 단서, 전사, 전단사
- 단사 : 1-1
- 전사 : onto
- 전단사 : 1-1 & onto
- $f : X \to Y$: 단사, $A \subseteq X, F \subseteq P(X)$
- $f(x) \in f(A) \rightarrow x \in A$
- $f(\cup_{A \in F} A) = \cup_{A \in F} f(A)$
- $f(\cap F) = \cap_{A \in F} f(A)$
- 일반적인 경우와 달리 단사일 경우는 같음이 성립한다.
- $f^{-1}(\cup F) = \cup_{A \in F} f^{-1}(A)$
- $f^{-1}(\cap F) = \cap_{A \in F} f^{-1}(A)$
- 전단사 $f : X \to Y$에 대하여, $f^{-1} : Y \to X$는 전단사함수
- $Dom(F^{-1}) = Im(f) = Y (\because f = \text{전사})$
- $(a, b) \in f^{-1}, (a, c) \in f^{-1} \Rightarrow (b, a) \in f, (c, a) \in f$
- $a = f(b) = f(c) \Rightarrow b = c (\because f = \text{단사})$
- $f^{-1}(a) = f^{-1}(b)$
- $Im(f^{-1}) = Dom(f) = X (\because f = \text{함수})$
- 단사 함수의 합성은 단사, 전사 함수의 합성은 전사
- 다양한 함수들
- $Idx : X \to X, Idx(x) = x$ (항등 함수)
- $C_{a} : X \to \{ a \}, C_{a}(x) = a$ (상수 함수)
- $X_{a} : X \to \{ a, b \}, X_{a}(x) = \begin{cases} a (x \notin A) \\ b (x \in A) \end{cases}$ (신호 함수 or 상태 함수. 조건에 따라 상태가 다르기 때문에 불연속적이다)
- $P_{x} : X \times Y \to X, P_{x} (x, y) = x$ ($X$사영 함수 or 2변수 함수. $Y$를 무시하고 $X$축에 그림자를 씌운다는 의미에서 사영 함수라고 한다)
- $f : A \subseteq B \Leftrightarrow f : A \to B, f(x) = x$ (포함 함수)
- 순서 $n$ 쌍, $N-Tuple$
- $(a, b)$ 2개인 경우: ordered pair
- $(a, b, c)$ 3개인 경우: 3-Tuple
- $\{(1, a), (2, b), (3, c)\}$
- 순서대로 ordered pair를 포함하고 있다.
- 일반화된 카테시안
- $\mathbb{R}^{3} = \{ (a, b, c) | a, b, c \in \mathbb{R} \}$
- $\mathbb{R}^{n} = \{ (a_{1}, a_{2}, ... , a_{n} | a_{i} \in \mathbb{R} \}$ ($n$차원 유클리드 공간)
- $\Pi_{k=1}^{n} A_{k} = \{ (a_{1}, a_{2}, ... , a_{n} | a_{i} \in A_{i} \}$
- $\mathbb{R}^{n} = \{ f : \mathbb{N} \to \mathbb{R} \}$ (무한차원 유클리드 공간, 조건을 더 추가하면 힐베르트 공간이 될 수 있음)
- $\Pi_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} = \{ f : \Gamma \to \cup_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} | f(\gamma) \in A_{\gamma} \}$ (일반화된 카테시안. 함수 공간, 하나의 함수가 점처럼 표현 됨)
함수식
- $f : X \to Y, g : Y \to Z$에 대하여
- $g \circ f : X \to Z, (g \circ f)(x) = g(f(x))$
- 합성 함수
- $(a, b) \in g \circ f \Leftrightarrow \exists Z \in Y, (a, z) \in f \wedge (z, b) \in g$
- $f : X \to Y, g : Y \to Z, h : Z \to W$ 에 대하여
- $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$
- 합성 합수의 결합 법칙은 성립한다. 그러나 교환 법칙은 성립하지 않는다. $f \circ g \neq g \circ f$
- $f : X \to Y$에 대하여
- $\exists g = Y \to X, g \circ f = Idx \Rightarrow f$: 단사 (Idx는 항등 함수)
- $\exists h = Y \to X, f \circ h = Idy \Rightarrow f$: 전사 (Idx는 항등 함수)
- $f, g$ : 전단사 ⇒ $g \circ f$ : 전단사
- $g \circ f(a) = g \circ f(b) \Rightarrow a = b$
- $(g \circ f)(x) = g(f(x))$