https://youtu.be/gK3fRsiaqQg

Ex 2

• $V = P_{2}(R), \beta = \{ 1, x, x^{2} \}$
• $f(x) = 4 + 6x - 7x^{2}$ 이면
• $[f(x)]_{\beta} = \left[ \begin{array}{rrr} 4 \\ 6 \\ -7 \end{array} \right]$
• 순서기저가 정해지면 vector는 좌표로 쓸 수 있다.

순서 기저를 갖는 유한차원 벡터공간 $V, W$에 대하여

• $V$의 순서기저를 $\beta = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}$, $W$의 순서기저를 $\gamma = \{ w_{1}, w_{2}, ... , w_{n} \}$라 하고, $T : V \to W$이면
  • $\forall j, \exists_{1} a_{ij} \in F : T(v_{j}) = \sum_{i=1}^{m} a_{ij} w_{i}$

Def. $A = [a_{ij}]$

• 행렬 $A$는 순서기저 $\beta, \gamma$를 이용한 선형변환 $T$의 행렬표현이라 한다.
  • $A = [T]_{\beta}^{\gamma}$
  • $V = W$이고 $\beta = \gamma$이면 $A = [T]_{\beta}$
• (Ex 3, Ex 4는 문제풀이이므로 교재를 정리한 것으로 대체)
• 행렬은 결국 선형변환과 같다.

Def. 체 $F$의 원소를 갖는 벡터공간 $V, W$에 대하여

• $T, U : V \to W, a \in F$일 때
• $T + U : V \to W$
  • $x \mapsto T(x) + U(x)$
• $aT : V \to W$
  • $x \mapsto aT(x)$
• Thm 2.7) 선형변환 $T, U : V \to W$에 대해
  • $\forall a \in F, aT + U$도 선형이다
  • $T + U, aU$의 정의를 이용하면 $V$에서 $W$로 가는 모든 선형변환을 모아 놓은 집합도 벡터공간이 된다.
• 증명)
  • $(aT + U)(x + y) = (aT + U)(x) + (aT + U)(y)$ (homogeneity)
  • $(aT + U)(bx)$ (additivity)
    • $= aT(bx) + U(bx) \\ = abT(x) + bU(x) \\ = b(aT(x) + U(x)) \\ = b(aT + U)(x)$

$T_{0}$: zero transformation

• $L(V, W)$이 $V$에서 $W$ 로 가는 모든 선형변환의 집합일 때,
  • $L(V, W)$는 벡터공간이다.
  • $T_{0}$는 덧셈에 대한 항등원이 된다. (zero vector)