https://youtu.be/nEOVfaxyZO4

Matrix multiplication

• 행렬 $C$가 행렬 $A, B$의 곱일 때
• $C_{ij} = \sum_{k=1}^{m} A_{ik} B_{kj}$
• 행렬의 곱이 왜 저런식으로 표현되냐면 행렬의 곱은 결국 함수의 합성이고 함수의 합성이 저렇게 표현되기 때문
  • $(UT)(v_{j}) = U(T(v_{j}))$
  • $= U(\sum_{k=1}^{m} B_{kj} w_{k}) \\ = \sum_{k=1}^{m} B_{kj} U(w_{k}) \\ = \sum_{k=1}^{m} B_{kj} (\sum_{i=1}^{p} A_{ik} z_{i}) \\ = \sum_{i=1}^{p} (\sum_{k=1}^{m} A_{ik} B_{kj}) z_{i} \\ = \sum_{i}^{p} C_{ij} z_{i}$
  • $\therefore AB \neq BA, (AB)^{t} = B^{t} A^{t}$

Thm 2.11

• $T : V \to W, U : W \to Z$ 일 때
• $\alpha$는 $V$의 기저, $\beta$는 $W$의 기저, $\gamma$는 $Z$의 기저이면
  • $[UT]{\alpha}^{\gamma} = [U]{\beta}^{\gamma} [T]_{\gamma}^{\alpha}$
• (예제는 교재에 있으므로 생략)

Def. Kronecker delta function

• $\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{cases}$
• $n \times n$ 단위행렬 $I_{n}$
  • $(I_{n}){ij} = \delta{ij}$

Zero divisor

• $AB = 0 \nRightarrow A = 0 \vee B = 0$
• Matrix multiplication은 cancellation law가 성립하지 않음
• ex)
  • Mod 4에서 $2 \times 2 = 4 = 0$ 따라서 Mode 4에서 2는 0이 아니지만 zero divisor가 됨
  • Mod 6에서 $2 \times 3 = 6 = 0$ 따라서 Mode 6에서 2, 3는 0이 아니지만 zero divisor가 됨

Def. $A : m \times n$ matrix

• $L_{A} : F^{n} \to F^{m}, x \mapsto Ax$
• 왼쪽에 행렬 $A$를 곱해주는 $L_{A}$를 left multiplication transformation이라 한다.

Thm 2.13