https://youtu.be/wOMVf4Wq7fs

(Ex 2는 elemantary matrix 계산이라 생략)

Thm 3.2

• Elementary matrix는 invertible하고 Elementary의 inverse도 invertible 하다.
  • $\left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]^{-1} = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$
  • $\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]^{-1} = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & {1 \over 2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$

3.2 Rank of matrix

• 행렬 $A \in M_{m \times n}(F)$에 대하여, 그 행렬의 rank는
  • $rank(A) = rank(L_{A})$ : $L_{A}$의 range(치역)의 차원
  • $L_{A} : F^{n} \to F^{m}$
  • $x \mapsto Ax$
• $n \times n$ 행렬이 invertible
  • $\Leftrightarrow rank = n \Leftrightarrow nullity = 0$

Thm 3.3

• 선형 변환 $T : V \to W$에 대하여, $V$의 기저가 $\beta$, $W$ 의 기저가 $\gamma$일 때
  • $rank(T) = rank([T]_{\beta}^{\gamma})$
  • (선형변환의 rank와 행렬표현의 rank가 같다)

Thm 3.4

• 세 행렬 $A: m \times n, P : m \times m$ invertible, $Q : n \times n$ invertible 에 대하여
  • $rank(AQ) = rank(A)$
  • $rank(PA) = rank(A)$
  • $rank(PAQ) = rank(A)$

Corollary

• Elementary row operation은 rank를 유지시켜준다.

Thm 3.5

• $rank(A)$는 독립 컬럼의 최대개수가 된다.
  • $rank(A) = dim(column space) = dim(row space) = rank(A^{t})$
• Ex)
  • $A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right], rank(A) = 2$
• Ex 2)
  • $A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$
  • $\therefore rank(A) = 2$
  • (row elementary operation이 rank를 바꾸지 않기 때문에 적절한 연산으로 row을 정리해서 Echelon form(사다리꼴)으로 만들어 주면 최종적으로 남은 pivot의 개수를 통해 행렬의 rank를 쉽게 구할 수 있다.)

Thm

• 세 행렬 $A: m \times n, P : m \times m, Q : n \times n$ 에 대하여
  • $rank(AQ) \leq rank(A)$
  • $rank(PA) \leq rank(A)$
  • $rank(PAQ) \leq rank(A)$
• (앞선 정리와 다른 점은 $P, Q$가 invertible 하지 않다는 것. 일반적으로 행렬을 곱해줄 수록 rank는 감소한다.)