행렬식

성질

n차 정사각행렬 $A = (a_{ij})$, $B = (b_{ij})$, $C = (c_{ij})$ 이고 $\alpha$ 는 실수이다.

A의 한 행(열)이 모두 0이면, |A| = 0 이다.
A의 임의의 두 행(열)을 바꾸어 얻은 행렬을 B라 하면, |B| = -|A| 이다.
A의 임의의 두 행(열)이 같으면 |A| = 0 이다.
A의 한 행(열)에 $\alpha$ 를 곱해서 얻은 행렬을 B라 하면, |B| = $\alpha$|A| 이다.
A의 한 행(열)에 다른 행(열)의 $\alpha$ 배를 더해도 행렬식은 같다.
|$A^t$| = |A| 이다.
A가 상삼각행렬, 하삼각행렬, 대각행렬이면, |A| = $a_{11}a_{12} ... a_{nn}$ 이다.
|AB| = |A| |B| 이다.

LU 인수분해

ex) 가역행렬(=정칙행렬) $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 2 & 6 & 8 \\ 0 & 4 & 3 \end{pmatrix}$ 을 행에 관한 사다리꼴 행렬 U와 기본행렬들의 곱으로 표시하면,

풀이

A의 행사다리꼴 행렬 U 구하기.

$-2R_1 + R_2$ → $R_2$, $R_2$ ↔ $R_3$ 을 시행하면

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 2 & 6 & 8 \\ 0 & 4 & 3 \end{pmatrix}$~$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & -6 \\ 0 & 4 & 3 \end{pmatrix}$~$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & -6 \end{pmatrix} = U$에서

$E_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ 이므로

$U = E_2E_1A$ , $A = E_1^{-1} E_2^{-1} U$ 이 된다.