(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)
개념
- 영역 $(\Omega)$, 경계 $(\partial \Omega)$
- 2차원 영역에서는 테두리, 3차원 영역에서는 표면, 1차원 선에서는 양 끝점이 경계가 된다.
- 조르당 곡선정리
- 평면에서 단순 폐곡선 C는 평면을 내부영역과 외부영역으로 분할한다. (단순 폐곡선이란 중간에 겹치는 점 없이 이루어진 폐곡선)
- 폐곡선의 방향과 부호
- 영역 $(\Omega)$의 경계 $(\partial \Omega)$ 에 대하여, 곡선을 진행할 때 영역이 왼쪽에 놓이게 되는 방향을 + 방향이라고 한다.
- 영역이 안쪽에 있으면 반시계 방향, 영역이 바깥쪽에 있으면 시계방향이 + 방향이 된다.
- 좌표계의 오른손 법칙, 벡터곱과 관련되어 이렇게 정의 함.
- 그린 정리
- $\Omega (\subseteq \mathbb{R}^{2})$: 조각적으로 매끄러운 단순폐곡선 $c_{1}, c_{2}, ... c_{n}$ 으로 둘러 쌓인 영역 ($c_{2}, ... c_{n}$ 내부에 있고, $c_{1}, c_{2}, ... c_{n}$ 들은 서로 겹치지 않음)
- 내부에 구멍이 유한개 뚫려 있는 단순 폐곡선을 의미
- 조각적으로 매끄러운 것은 미분 불가능한 지점이 있을 수 있음
- 그리고 $\vec{F}$ 는 $\Omega$ 에서 미분 가능하면
- $\Rightarrow \int_{\Omega} (\nabla \times \vec{F}) \cdot \hat{z} dx \land dy = \int_{\Omega}\vec{F} \cdot d\vec{x}$