(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)
개념
- 일변수 실함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 형 ($f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$의 형태에서 n과 m이 모두 1인 경우)
- $t \in \mathbb{R} \mapsto f(t) \in \mathbb{R}$
- 예
- $f(x) = x^{2}$
- $f(x) = \sin x$
- $f(t) = t^{3} - e^{t}$
- $t^{2} + f(t)^{2} = 4 (f(t) \ge 0)$
- 일변수 벡터함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n}$형 ($f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$ 의 형태에서 n이 1인 경우)
- $t \in \mathbb{R} \mapsto f(t) \in \mathbb{R}^{n}$
- 파라미터는 1개지만 결과는 벡터로 나오는 경우. 결과가 일변수 실함수를 여러 개.
- $f(t) = (f_{1}(t), f_{2}(t), ... f_{n}(t))$
- 매개곡선이라고 부르기도 한다.
- $\vec{\alpha}(t), \vec{\beta}(t), \vec{\gamma}(t)...$ 등으로 표기
- 예
- $\vec{\alpha}(t) = (\cos t, \sin t)$
- $\vec{\beta}(t) = (t, t^{2})$
- $\vec{\gamma}(t) = (\cos t, \sin t, t^{2})$
- 다변수 실함수 $f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$형 ($f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$의 형태에서 m이 1인 경우)
- $(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \mapsto f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) \in \mathbb{R}$
- 이런 함수를 스칼라장이라고도 부름
- $f(x, y), f(\vec{x}), V(x, y, z), \phi(x_{1}, x_{2}, ... x_{n})$ 등으로 표기
- 예
- $f(x, y) = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}$
- $V(x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2} - 4x_{1} + x_{2}^{2}$
- $\phi (x, y) = x^{2} - y^{2}$
- $f(x, y, z) = 3x^{2} - 4y^{2} + 5z^{2}$
- 다변수 벡터함수 $f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$ 형 ($f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$의 형태에서 n과 m이 모두 1이 아닌 경우)
- $(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \mapsto f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) \in \mathbb{R}^{m}$
- 즉, $f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) = (f_{1}(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}), f_{2}(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}), ... , f_{m}(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}))$
- 벡터장이라 부르기도 한다.
- $\vec{F}, \vec{G}, \vec{H} (x_{1}, x_{2}, ... x_{n})$ 등으로 표기
- 예
- $\vec{F}(x, y) = (x, -y)$
- $\vec{F}(x, y, z) = (x, y, z)$
- $\vec{F}(x, y) = (2, 3)$
- $\vec{F}(x, y) = (x+y, -y, x^{2})$
- $\vec{F}(x, y) = (-y, x)$
- $\vec{F}(x, y) = (\frac{-x}{x^{2} + y^{2}}, \frac{-y}{x^{2} + y^{2}} )$
- $\vec{F}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}) = M \left( \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_{n} \end{array} \right)$