(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)
개념
- $(V, +', \cdot ')$: V.S over $\mathbb{F}$ 일때, $(W, +', \cdot ')$ : sub V.S of $(V, +', \cdot ')$ (V.S = Vector Space)
- $\Leftrightarrow$
- $W \subseteq V$
- $+', \cdot '$가 $W$ 위에서 그대로 잘 정의되어, $(W, +', \cdot ')$ : V.S over $\mathbb{F}$
- Sub V.S 예시
- $\mathbb{Q}^{n}$ (over $\mathbb{Q}$) : sub V.S of $\mathbb{R}^{n}$ (over $\mathbb{Q}$)
- V : sub V.S of V
- $\{ \vec{0}_{V} \}$: sub V.S of V
- $W$: sub V.S of $V$
- $\Leftrightarrow$
- $\vec{0}_{V} \in W$
- $a, b \in W \Rightarrow a + b \in W$
- $\alpha \in \mathbb{F}, a \in W \Rightarrow \alpha \cdot a \in W$
- Sub V.S 특징
- $W$ : sub V.S of $V, U$ : sub V.S of $W \Rightarrow U$: sub V.S of $V$
- $W_{\alpha}$ : sub V.S of $V \Rightarrow \cap W_{\alpha}$ : sub V.S of $V$
- $W_{1}, W_{2}$ : sub V.S of $V$
- $\Rightarrow$
- $W_{1} \cup W_{2}$ : sub V.S of $V \Leftrightarrow W_{1} \subseteq W_{2} \lor W_{2} \subseteq W_{1}$
- $W_{1}, W_{2}$: sub V.S of $V$
- $\Rightarrow$
- $W_{1} + W_{2}$ : sub V.S of $V$
- $W_{1}, W_{2}$ : sub V.S of $W_{1} + W_{2}$
- $U$ : sub V.S of $V, W_{1} \subseteq U, W_{2} \subseteq U \Rightarrow W_{1} + W_{2} \subseteq U$
- $W$: sub V.S of $V$
- $\Leftrightarrow$
- $W \neq \emptyset (c \in \mathbb{F}, a, b \in W \Rightarrow c \cdot a \in W, a + b \in W)$
- $0_{v} \in W (\alpha \in \mathbb{F}, a, b \in W \Rightarrow \alpha \cdot a + b \in W)$
- $(V_{1}, +{1}, \cdot{1}), (V_{2}, +{2}, \cdot{2})$ : V.S over $\mathbb{F}$ 일 때, 곱집합
- 벡터 공간의 External Direct Sum
- $V_{1} \times V_{2} = \{ (a, b) | a \in V_{1}, b \in V_{2} \}$ 에 다음 연산을 정의한다.
- $(a, b) +{E} (c, d) = (a +{1} c, b +_{2} d)$
- $\alpha \cdot_{E} (a, b) = (\alpha \cdot_{1} a, \alpha \cdot_{2} b)$
- 그러면 $(V_{1} \times V_{2}, +{E}, \cdot{E})$는 V.S over $\mathbb{F}$ 가 된다.
- 이 벡터공간을 $V_{1} \oplus_{E} V_{2}$ 이라 한다.
- 벡터 공간의 Internal Direct Sum
- $(Z, +, \cdot)$: V.S over $\mathbb{F}$ , $(X, +, \cdot), (Y, +, \cdot)$: sub V.S of $(Z, +, \cdot)$ 일 때
- $Z = X \oplus_{I} Y$
- $\Leftrightarrow$
- $\forall z \in Z, \exists x \in X, y \in Y, z = x + y$
- $X \cap Y = {\vec{0}}$
- $(Z = X \oplus_{I} Y) \approx X \oplus_{E} Y$
- External, Internal Direct Sum이 Isomorphic 하기 때문에 특별히 구분 하지 않고 $X \oplus Y$라 쓴다.
- 벡터 공간의 Direct Sum의 예
- $\mathbb{R} \oplus \mathbb{R} \approx \mathbb{R}^{2}$
- $\{ (a, 0) | a \in \mathbb{F} \} \oplus \{ (0, b) | b \in \mathbb{F} \} \approx \mathbb{F}^{2}$
- $\mathbb{F} \oplus (\mathbb{F} \oplus \mathbb{F}) \approx \mathbb{F}^{3}$
- $\mathbb{F}^{2} \oplus \mathbb{F}^{3} \approx \mathbb{F}^{5}$
- $\mathbb{R} \oplus_{I} \mathbb{R}{i} = \mathbb{C} \approx \mathbb{R} \oplus{E} \mathbb{R} = \mathbb{R}^{2}$
- Direct Sum of Many V.S 에 대해서도 정의 가능. 유한한 경우와 무한한 경우 정의가 다른데 생략.