https://youtu.be/YGKwkptYB7s
집합의 분류
유한, 무한집합
동등
두 집합 $X, Y$에 대하여 전단사함수 $f : X \to Y$ 가 존재하면 $X, Y$는 동등이다. ($X \approx Y$ 또는 $f : X \approx Y$)
유한, 무한집합
집합 $X$의 적당한 진부분집합 $Y$가 $X$와 동등하면 $X$는 무한집합이다.
무한집합이 아닌 집합을 유한집합이라 한다.
ex) $(0, 1) \approx \mathbb{R} \therefore \mathbb{R}$은 무한집합이다.
여러가지 정리
- 공집합 $\emptyset$은 유한집합이다.
- 무한집합을 포함하는 집합은 무한이다.
- 유한집합의 모든 부분집합은 유한이다.
- 전단사함수 $f : X \to Y$에 대하여
- $X$가 무한집합이면 $Y$도 무한집합이고
- $X$가 유한집합이면 $Y$도 유한집합이다.
- 무한집합 $X$의 부분집합 $Y$가 유한이면 $X - Y$는 무한집합이다.
가부번, 비가부번 집합
가부번집합
집합 $X$가 $X \approx \mathbb{N}$ 일 때 $X$ 를 가부번집합이라 한다.
- 가부번집합은 번호를 붙일 수 있는 집합을 의미함.
- 자연수 집합은 번호를 붙일 수 있으므로 가부번 집합이다. --1 다음은 2 그 다음 3이므로
- 실수 집합은 번호를 붙일 수 없으므로 비가부번 집합이 된다. --1 다음 수를 어떤 것으로 정의할 수가 없음.