(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)
개념
- $f(x)$ : p에서 해석적 (Analytic, $C^{\omega}$)
- $\Leftrightarrow$ (x = p 근처에서) $f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} (x-p){k}$
- f(x) : 해석적
- $\Leftrightarrow$ 정의역에 있는 임의의 x = p에 대하여, p에서 해석적이다.
- 해석함수의 특징, 종류
- $f(x) : C^{\omega} \Rightarrow f(x) : C^{\infty}$
- $sin x, cos x, e^{x}, 3x^{2} + 2x + 7 : C^{\omega}$
- 초등함수는 $C^{\omega}$
- $erf(x) = {2 \over \sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} dt : C^{\omega}$
- $e^{xi} = i \sin x + \cos x$
- 위 식의 x 자리에 $\pi$를 넣으면 $e^{\pi i} = i sin \pi + cos \pi = 0 - 1 = -1$이 된다. (오일러의 공식)
- 급수전개법
- 테일러 급수전개 - 무한차 다항식
- 로랑 급수전개 - 해석적인 항 + 해석적이지 않은 항
- 푸리에 급수전개 - 주기함수
- 다중극전개 - 물리학에서 사용