내적공간

직교집합

QR인수분해

A가 계수 n인 mxn 행렬이면 A를 인수분해하여 QR 곱으로 나타낼 수 있다. 여기서 Q는 정규직교열을 갖는 mxn 행렬이고 R은 가역행렬인 nxn 상삼각행렬이다.

→ 선형 최소제곱문제를 해결하는데 자주 사용.

ex) 행렬 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 6 \end{pmatrix}$을 QR 곱으로 인수분해 하여라.

A의 열 $x_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, x_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, x_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix}$

$||x_1||^2 = <x_1, x_1> = 4$ 이므로, $u_1 = \frac {x_1} {||x_1||} = ( \frac {1} {2}, \frac {1} {2}, \frac {1} {2}, \frac {1} {2})^t$ 이다.

$x_2$ 의 Span{$u_1$} 위로의 정사영을 $p_1$ 이라 할 때,

$p_1 = <x_2, u_1>u_1 = 3u_1 = (\frac {3} {2}, \frac {3} {2}, \frac {3} {2}, \frac {3} {2})^t$ 이므로

$x_2 - p_1 = (-\frac {1} {2}, \frac {1} {2}, \frac {1} {2}, -\frac {1} {2})^t$ 이다.

따라서, $u_2 = \frac {x_2 - p_1} {||x_2 - p_1||} = (-\frac {1} {2}, \frac {1} {2}, \frac {1} {2}, -\frac {1} {2})^t$ 이다.

$p_2 = <x_3, u_1>u_1 + <x_3, u_2>u_2 = 6u_1 - 2u_2 = (4, 2, 2, 4)^t$ 이므로

$x_3 - p_2 = (-2, 1, -1, 2)^t$ 이다.

따라서, $u_3 = \frac {x_3 - p_2} {||x_3 - p_2||} = (\frac {-2} {\sqrt 10}, \frac {1} {\sqrt 10}, \frac {-1} {\sqrt 10}, \frac {2} {\sqrt 10})^t$ 이다.

그러므로

$u_1 = \frac {1} {2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, u_2 = \frac {1} {2} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, u_3 = \frac {1} {\sqrt 10} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ 이고,

$x_1 = 2·u_1 + 0·u_2 + 0·u_3$

$x_2 = 3·u_1 + 1·u_2 + 0·u_3$

$x_3 = 6·u_1 + (-2)·u_2 + \sqrt 10·u_3$ 이므로

$R = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 6 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & \sqrt 10 \end{pmatrix}$ 이다.

최소제곱문제