norm : 벡터 x에 대하여 x의 크기. ||x|| 로 표현.
norm 이 정의된 벡터공간 V를 노름공간(normed vector space)라고 한다.
주어진 벡터공간 위에서 서로 다른 여러 가지의 노름을 정의할 수 있다.
ex) 유클리드 n차 벡터공간 $R^n$의 임의의 벡터 $x = (x_1,x_2,...,x_n)^t$에 대하여
$||x||_1 = \sum ^ n _{i=1} |x_i|$
$||x||_p = ({\sum ^n _{i = 1}}|x_i|^p)^\frac{1}{p}, p \geq 1, p \in R$ㅣ
특히, p = 2일 때 $||x||_2$ = $\sqrt{<x,x>}$
$||x||\infty = max{1\leq i\leq n}|x_i|$
각각 $R^n$에서의 노름이 된다.
노름공간 V의 임의의 두 벡터 x, y에 대하여 x, y 사이의 거리를 $||x-y||$로 정의한다.
$||v|| = <v, v>^\frac {1} {2}$
{$v_1, v_2, ..., v_n$}이 내적공간 V의 0이 아닌 벡터의 직교집합이면 $v_1, v_2, ..., v_n$은 일차독립이다.
정규직교집합 : 단위벡터들로 이루어진 직교집합.
S를 내적공간 V의 부분공간이라 하고, x$\in$V 라 하자. {$u_1, u_2, ..., u_n$}이 S에 대한 정규기저라 할 때
$$ p= <x, u_1>u_1 + <x, u_2>u_2+ ... + <x, u_n>u_n $$
라고 두면,
$$ p - x \in S ^\bot $$
이다.
A가 계수 n인 mxn 행렬이면 A를 인수분해하여 QR 곱으로 나타낼 수 있다. 여기서 Q는 정규직교열을 갖는 mxn 행렬이고 R은 가역행렬인 nxn 상삼각행렬이다.
→ 선형 최소제곱문제를 해결하는데 자주 사용.
ex) 행렬 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 6 \end{pmatrix}$을 QR 곱으로 인수분해 하여라.
A의 열 $x_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, x_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, x_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix}$
$||x_1||^2 = <x_1, x_1> = 4$ 이므로, $u_1 = \frac {x_1} {||x_1||} = ( \frac {1} {2}, \frac {1} {2}, \frac {1} {2}, \frac {1} {2})^t$ 이다.
$x_2$ 의 Span{$u_1$} 위로의 정사영을 $p_1$ 이라 할 때,
$p_1 = <x_2, u_1>u_1 = 3u_1 = (\frac {3} {2}, \frac {3} {2}, \frac {3} {2}, \frac {3} {2})^t$ 이므로
$x_2 - p_1 = (-\frac {1} {2}, \frac {1} {2}, \frac {1} {2}, -\frac {1} {2})^t$ 이다.
따라서, $u_2 = \frac {x_2 - p_1} {||x_2 - p_1||} = (-\frac {1} {2}, \frac {1} {2}, \frac {1} {2}, -\frac {1} {2})^t$ 이다.
$p_2 = <x_3, u_1>u_1 + <x_3, u_2>u_2 = 6u_1 - 2u_2 = (4, 2, 2, 4)^t$ 이므로
$x_3 - p_2 = (-2, 1, -1, 2)^t$ 이다.
따라서, $u_3 = \frac {x_3 - p_2} {||x_3 - p_2||} = (\frac {-2} {\sqrt 10}, \frac {1} {\sqrt 10}, \frac {-1} {\sqrt 10}, \frac {2} {\sqrt 10})^t$ 이다.
그러므로
$u_1 = \frac {1} {2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, u_2 = \frac {1} {2} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, u_3 = \frac {1} {\sqrt 10} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ 이고,
$x_1 = 2·u_1 + 0·u_2 + 0·u_3$
$x_2 = 3·u_1 + 1·u_2 + 0·u_3$
$x_3 = 6·u_1 + (-2)·u_2 + \sqrt 10·u_3$ 이므로
$R = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 6 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & \sqrt 10 \end{pmatrix}$ 이다.